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Trigonometria: Funções trigonométricas inversas

Funções trigonométricas inversas

Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, por este motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas função que possuam inversas.


Exemplo: A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2pi, x=4pi, x=-2pi, etc, isto é x=2kpi, onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x)=cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.

Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem.


Função arco-seno

Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no intervalo [-pi/2,pi/2] e imagem no intervalo [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo seno, definida por f-1:[-1,1][-pi/2,pi/2] é denotada por

f-1(x) = arcsen(x)

Gráfico da função arco-seno:


Função arco-cosseno

Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0,pi] e imagem [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo cosseno é definida por g-1:[-1,1][0,pi] e denotada por

g-1(x) = arccos(x)

Gráfico da função arco-cosseno:


Função arco-tangente

Dada a função f(x)=tan(x), com domínio (-pi/2,pi/2) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-tangente é definida por f-1:R(-pi/2,pi/2) e denotada por

f-1(x) = arctan(x)

Gráfico da função arco-tangente:


Função arco-cotangente

Dada a função f(x)=cot(x), com domínio (0,pi) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente é definida por f-1:R(0,pi) e denotada por

f-1(x) = arccot(x)

Gráfico da função arco-cotangente:


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