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Trigonometria: Funções trigonométricas circulares

Funções circulares

As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.


Funções reais

Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.

Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).

O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.

Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.


Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale

f(x+T) = f(x)

Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.

Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.


Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:

-L < f(x) < L

Esta última expressão pode ser escrita como |f(x)|<L.


Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois

-1 < x/(1+x²) < 1


Funções crescentes e decrescentes

Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x<y. Afirmamos que f é crescente, se f(x)<f(y) e que f é decrescente, se f(x)>f(y).

Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e-x é decrescente.


Funções pares e ímpares

  1. Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:

    f(-x) = f(x)

    Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.

    Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.


  2. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:

    f(-x) = -f(x)

    Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.

    Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.


Função seno

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x0pi/4pi/23 pi/4pi5pi/43pi/27pi/42pi
y0½1½0-10

Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.


Propriedades da função seno

  1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.

  2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}

  3. Periodicidade: A função é periódica de período 2pi. Para todo x em R e para todo k em Z:

    sen(x) = sen(x+2pi) = sen(x+4pi) =...= sen(x+2kpi)

    Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos

    sen(x+2kpi) = sen(x)cos(2k pi) + cos(x)sen(2k pi)

    para k em Z, cos(2k pi)=1 e sen(2k pi)=0

    sen(x+2kpi) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)

    A função seno é periódica de período fundamental T=2pi.

    Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2pi.


  4. Sinal:

    Intervalo[0,pi/2][pi/2,pi][pi,3pi/2][3pi/2,2pi]
    Função senopositivapositivanegativanegativa

  5. Monotonicidade:

    Intervalo[0,pi/2][pi/2,pi][pi,3pi/2][3pi/2,2pi]
    Função senocrescentedecrescentedecrescentecrescente

  6. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

    -1 < sen(x) < 1


  7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

    sen(-x) = -sen(x)


Função cosseno

Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x0pi/4pi/23 pi/4pi5pi/43pi/27pi/42pi
y1½0½-10½1

Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.


Propriedades da função cosseno

  1. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.

  2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}

  3. Periodicidade: A função é periódica de período 2pi. Para todo x em R e para todo k em Z:

    cos(x)=cos(x+2pi)=cos(x+4pi)=...=cos(x+2kpi)

    Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos

    cos(x+2kpi)=cos(x) cos(2k pi)-sen(x) sen(2k pi)

    Para todo k em Z: cos(2k pi)=1 e sen(2kpi)=0, então

    cos(x+2kpi)=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)

    A função cosseno é periódica de período fundamental T=2pi.


  4. Sinal:

    Intervalo[0,pi/2][pi/2,pi][pi,3pi/2][3pi/2,2pi]
    Função cossenopositivanegativanegativapositiva

  5. Monotonicidade:

    Intervalo[0,pi/2][pi/2,pi][pi,3pi/2][3pi/2,2pi]
    Função cossenodecrescentedecrescentecrescentecrescente

  6. Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

    -1 < cos(x) < 1

  7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:

    cos(-x) = cos(x)


Função tangente

Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1)pi/2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).

f(x) = tan(x) = sen(x)
cos(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x0pi/4pi/23 pi/4pi5pi/43pi/27pi/42pi
y01não existe-101não existe-10

Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).

Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de pi/2 (ou de -pi/2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.


Propriedades

  1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma pi/2+kpi, onde k em Z, temos

    Dom(tan)={x em R: x diferente de pi/2+kpi}

  2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.

  3. Periodicidade A função é periódica e seu período é pi

    Para todo x em R, sendo x diferente de pi/2+kpi, onde k pertence a Z

    tan(x)=tan(x+pi)=tan(x+2pi)=...=tan(x+kpi)

    Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos

    tan(x+kpi) =tan(x)+tan(kpi)
    1-tan(x).tan(kpi)
    =tan(x)+0
    1-tan(x).0
    = tan(x)

    A função tangente é periódica de período fundamental T=pi.

    Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

  4. Sinal:

    Intervalo[0,pi/2][pi/2,pi][pi,3pi/2][3pi/2,2pi]
    Função tangentepositivanegativapositivanegativa
  5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=kpi/2, k inteiro, onde a função não está definida.

  6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)pi/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.

  7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:

    tan(x)=-tan(-x)


Função cotangente

Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1)pi onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:

f(x)=cot(x)=cos(x)
sen(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x0pi/4pi/23 pi/4pi5pi/43pi/27pi/42pi
ynão existe10-1não existe10-1não existe

Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).

Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de pi (ou -pi), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.


Propriedades

  1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma pi+kpi, onde k em Z, temos

    Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1)pi}

  2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.

  3. Periodicidade A função é periódica e seu período é pi

    Para todo x em R, sendo x diferente de pi+kpi, onde k em Z

    cot(x)=cot(x+pi)=cot(x+2pi)=...=cot(x+kpi)

    A função cotangente é periódica de período fundamental 2pi.

  4. Sinal:

    Intervalo[0,pi/2][pi/2,pi][pi,3pi/2][3pi/2,2pi]
    Função tangentepositivanegativapositivanegativa

  5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=kpi, k inteiro, onde a função não está definida.


  6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de kpi/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.


  7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

    cot(x)=-cot(-x)


Função secante

Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1)pi/2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).

f(x)=sec(x)=1
cos(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x0pi/4pi/23 pi/4pi5pi/43pi/27pi/42pi
y1não existe--1-não existe1

Gráfico: O segmento OV mede sec(x).

Quando x assume valores próximos de pi/2 ou de 3pi/2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.


Propriedades

  1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma pi/2+kpi, onde k em Z, temos

    Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1)pi/2}

  2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) ³ 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:

    Im(sec)={y emR: y < -1    ou    y ³ 1}


  3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 2pi

    Para todo x em R, sendo x diferente de pi+kpi, onde k em Z

    sec(x)=sec(x+2pi)=sec(x+4pi)=...=sec(x+2kpi),

    por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2pi, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.


  4. Sinal:

    Intervalo[0,pi/2][pi/2,pi][pi,3pi/2][3pi/2,2pi]
    Função secantepositivanegativanegativapositiva

  5. Monotonicidade:

    Intervalo[0,pi/2][pi/2,pi][pi,3pi/2][3pi/2,2pi]
    Função secantecrescentecrescentedecrescentedecrescente

  6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)pi/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.


  7. Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:

    sec(x)=sec(-x)


Função cossecante

Como a cossecante não existe para arcos da forma kpi onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)

f(x)=csc(x)=1
sen(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x0pi/4pi/23 pi/4pi5pi/43pi/27pi/42pi
ynão existe1não existe--1-não existe

Gráfico: O segmento OU mede csc(x).


Quando x assume valores próximos de 0, pi ou de 2pi, sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.


Propriedades

  1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma kpi, onde k em Z, temos

    Dom(csc)={x em R: x diferente de kpi}

  2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:

    Im(csc)={y em R: y < -1    ou    y > 1}


  3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2pi

    Para todo x em R, sendo x diferente de kpi, onde k em Z

    csc(x)=csc(x+pi)=csc(x+2pi)=...=csc(x+kpi)

    por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2pi, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.


  4. Sinal:

    Intervalo[0,pi/2][pi/2,pi][pi,3pi/2][3pi/2,2pi]
    Função cossecantepositivapositivanegativanegativa

  5. Monotonicidade:

    Intervalo[0,pi/2][pi/2,pi][pi,3pi/2][3pi/2,2pi]
    Função cossecantedecrescentecrescentecrescentedecrescente

  6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de kpi, a função cresce (ou decresce) sem controle.


  7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:

    csc(x)=-csc(-x)


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