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Trigonometria: Cotangente, Secante e Cossecante

Cotangente

Seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B=(0,1). Esta reta é perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente s no ponto S=(s',1). A abscissa s' deste ponto, é definida como a cotangente do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações

cot(AM) = cot(a) = cot(a+2kpi) = µ(BS) = s'

Os triângulos OBS e ONM são semelhantes, logo:

BS
OB
=ON
MN

Como a circunferência é unitária |OB|=1

cot(a)=cos(a)
sen(a)

que é equivalente a

cot(a)=1
tan(a)

A cotangente de ângulos do primeiro quadrante é positiva.

Quando a=0, a cotangente não existe, pois as retas s e OM são paralelas.


Ângulos no segundo quadrante

Se o ponto M está no segundo quadrante, de modo que o ângulo pertence ao intervalo pi/2<a<pi, então a cotangente de a é negativa. Quando a=pi/2, tem-se que cot(pi/2)=0.


Ângulos no terceiro quadrante

Se o ponto M está no terceiro quadrante, o ângulo está no intervalo pi<a<3pi/2 e nesse caso, a cotangente é positiva. Quando a=pi, a cotangente não existe, as retas que passam por OM e BS são paralelas.


Ângulos no quarto quadrante

Se o ponto M está no quarto quadrante, o ângulo a pertence ao intervalo 3pi/2<a<2pi, assim a cotangente de a é negativa. Se a=3pi/2, cot(3pi/2)=0.


Secante e cossecante

Seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M=(x',y'). Esta reta é perpendicular à reta que contém o segmento OM. A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0). A abscissa do ponto V, é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a secante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:

sec(AM) = sec(a) = sec(a+2kpi) = µ(OV) = v

A interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, é definida como a cossecante do arco AM correspondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações

csc(AM) = csc(a) = csc(a+2kpi) = µ(OU) = u

Os triângulos OMV e Ox'M são semelhantes, deste modo,

OV
OM
=OM
Ox'

que pode ser escrito como

sec(a)=1
cos(a)

se cos(a) é diferente de zero.

Os triângulos OMU e Ox'M são semelhantes, logo:

OU
OM
=OM
x'M

que pode ser escrito como

csc(a)=1
sen(a)

desde que sen(a) seja diferente de zero.


Algumas propriedades da secante e da cossecante

Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, podemos constatar as seguintes propriedades.

  1. Como os pontos U e V sempre estão no exterior da circunferência trigonométrica, as suas distâncias até o centro da circunferência é sempre maior ou igual à medida do raio unitário. Daí segue que:

    sec(a)<-1    ou    sec(a)>1
    csc(a)<-1    ou    csc(a)>1

  2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo no 1o. e no 4o. quadrantes e negativo no 2o. e no 3o. quadrantes.

  3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo no 1o. e no 2o. quadrantes e negativo no 3o. e no 4o. quadrantes.

  4. Não existe a secante de ângulos da forma a=pi/2+kpi, onde k é um número inteiro, pois nesses ângulos o cosseno é zero.

  5. Não existe a cossecante de ângulos da forma a=kpi, onde k é um número inteiro, pois são ângulos cujo seno é zero.


Relações trigonométricas com secante e cossecante

Valem as seguintes relações trigonométricas

sec²(a) = 1 + tan²(a)
csc²(a) = 1 + cot²(a)

Estas fórmulas são justificadas como segue

1+tan²(a)=1+sen²(a)
cos²(a)
=1
cos²(a)
=sec²(a)

1+cot²(a)=1+cos²(a)
sen²(a)
=1
sen²(a)
=csc²(a)

Alguns ângulos notáveis

arcosen(x)cos(x)tan(x)cot(x)sec(x)csc(x)
0010não existe1não existe
pi/630º½½22
pi/445º½½11
pi/360º½½22
pi/290º10não existe0 não existe1
2pi/3120º½---22
3pi/4135º½-1-1-
5pi/6150º½- --22
pi180º0-10não existe-1não existe
7pi/6210º -2-2
5pi/4225º11--
4pi/3240º-2-2
3pi/2270º-10não existe0não existe-1
5pi/3300º½--2-2
7pi/4315º½-1-1-
11pi/6330º½- -2-2
2pi360º010não existe1não existe

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