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Trigonometria: O círculo trigonométrico

Círculo Trigonométrico

Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico

.

Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquanto circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular.

Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue:

2o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: positiva
90º<ângulo<180º
1o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: positiva
0º<ângulo<90º
3o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: negativa
180º<ângulo<270º
4o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: negativa
270º<ângulo<360º

Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.


Arcos com mais de uma volta

Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeira determinação.

Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinado sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto M.

Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.

Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas

m, m+2pi, m+4pi, m+6pi, ...

Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas

m-2pi, m-4pi, m-6pi, ...

e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M.

Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por:

µ(AM) = m + 2kpi

onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}.


Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M.

Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2pi/3, então os arcos desta família {AM}, medem:

Determinações positivas (sentido anti-horário)
k=0µ(AM)=2pi/3
k=1µ(AM)=2pi/3+2pi=8pi/3
k=2µ(AM)=2pi/3+4pi=14pi/3
k=3µ(AM)=2pi/3+6pi=20pi/3
......
k=nµ(AM)=2pi/3+2npi=(2+6n)pi/3

Determinações negativas (sentido horário)
k=-1µ(AM)=2pi/3-2pi=-4pi/3
k=-2µ(AM)=2pi/3-4pi=-6pi/3
k=-3µ(AM)=2pi/3-6pi=-16pi/3
k=-4µ(AM)=2pi/3-8pi=-22pi/3
......
k=-nµ(AM)=2pi/3-2npi=(2-6n)pi/3

Arcos côngruos e Ângulos

Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2pi.

Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos.


Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas OA e OM.

Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2pi correspondente ao arco AM.

Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam para ângulos.


Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX

Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')=2pi-m.

Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2kpi+m, onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM'} têm medidas iguais a 2kpi-m, onde k é um número inteiro.


Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY

Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM' será dada pela expressão µ(AM')=pi-m.

Os arcos da família {AM'}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M', medem 2kpi+pi-m=(2k+1)pi-m onde k é um número inteiro.


Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origem

Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação a origem (0,0).

Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')=pi+m. Arcos genéricos com origem em A e extremidade em M' medem:

µ(AM') = 2k pi + pi + m = (2k+1)pi + m


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