Função contínua em um ponto do plano complexo

Seja f:DC e z₀ um ponto de acumulação de D em D. Uma função f é contínua em z₀, se o limite de f no ponto z₀ for igual a f(z₀), isto é:

f(z) = f(z₀)

Três condições estão estabelecidas nesta definição:

1. f = f(z) deve estar definida em z₀

2. f(z) deve existir

3. f(z) = f(z₀)

Descontinuidade removível e essencial

Se a função f não é contínua em um ponto z₀ mas f(z) existe, a descontinuidade é dita removível. Neste caso podemos obter uma função f* contínua em z₀, definindo f de modo que sejam satisfeitas as três condições da definição.

Quando a função não é contínua porque o limite da função em um dado ponto não existe, a descontinuidade neste ponto é dita essencial.

Exemplo 1

A função f(z)=(z²+1)/(z-i) possui uma descontinuidade removível em z₀=i pois lim_zi(z²+1)/(z-i)=2i mas a função não está definida para z=i. Neste caso, definimos uma nova função f* do seguinte modo:

f*(z)=f(z) se zi
f*(z)=2i    se z=i

Esta nova função f* é contínua em todos os pontos do plano complexo.

Exemplo 2: Para a função definida em todo o plano complexo por:

f*(z)=z se z0
f*(z)=1 se z=0 

z₀=0 é uma descontinuidade removível, pois f(z)=0 mas f(0)=1. A função f* definida por f*(z)=z para todo z em C é contínua em zero.

Exemplo 3: A função definida por f(z)=z/|z| possui uma descontinuidade essencial em z₀=0 porque o limite quando z0 não existe.

Função contínua em uma região do plano complexo

Uma função f é contínua numa região D do plano complexo se, f é contínua em todos os pontos da região D.

Composição de funções no plano complexo

Sejam f:DE e g:EC funções complexas, sendo D e E subconjuntos de C. A função h:DC definida por h(z)=g(f(z)) é denominada a função composta das funções f e g na ordem que foram apresentadas. Esta composição é denotada por h=gof.

Teoremas sobre a continuidade de funções complexas

1. Se f e g são funções contínuas em z₀ em D, então as funções f+g, f-g e f · g são contínuas em z₀. Quando f/g estiver definida em z₀, esta função também será contínua em z₀.

2. Se f:D E é uma função contínua em z₀ em D e g:EC é uma função contínua em f(z₀) em E, então, a função composta h=gof será contínua em z₀.

3. Se a função f é contínua numa região D, então a parte real de f e a parte imaginária de f, são funções contínuas nesta região D.

Exercícios

1. Dada a função f definida por:

   f(z) = (z² + 4)/(z - 2i)  se z 2i
   f(z) = 3+4i                se z = 2i

   Pede-se:

   (a) Provar que lim_z2if(z) existe e calcular o valor deste limite.

   (b) É verdade que f é contínua em z=2i?

   (c) Mostrar que f é contínua nos pontos onde z2i.

2. Determinar todos os pontos de descontinuidade para cada uma das funções abaixo:

   1. f(z) = (2z - 3)/(z² + 2z + 2)

   2. f(z) = (z² + 4)/(z⁴ - 16)

   3. f(z) = (z² + 1)/(z² - 3z + 2)

3. Redefinir as funções dadas abaixo de modo que elas sejam contínuas em z=a.

   1. f(z) = (z - a)/(z - a)

   2. f(z) = (z³ - a³)/(z - a)

   3. f(z) = 1/(z - a)

   4. f(z) = 1/z² - 1/a²

	Construída por Sonia F.L.Toffoli.