Limite de uma função complexa

Seja D um subconjunto de C, z₀ um ponto de acumulação de D e uma função f:DC. O número complexo L é o limite de f quando z tende a z₀ se, dado qualquer >0, existe um número positivo d>0 sendo d=d(e,z₀) tal que;

Se 0<|z-z₀|<d  então  |f(z) - L| < e

Denotamos este fato por

f(z) = L

Em palavras, a definição acima afirma que, uma função f=f(z) tem limite L quando z está se aproximando de z₀, se a distância entre f(z) e L for arbitrariamente pequena quando z estiver suficientemente próximo de z₀.

Observe que, na definição acima não se exige que a função esteja definida no ponto z=z_o para que o limite f(z) exista. A noção de limite de uma função em um ponto z₀ diz respeito ao comportamento da função nos pontos próximos a z₀ e não necessariamente no próprio z_o.

Exemplo 1: Seja f(z)=4z-2. Com a definição de limite, podemos mostrar que

L = (4z-2) = 2

Tomando >0, é possível construir d=e/4>0 de modo que se 0<|z-1|<d, então:

|f(z)-2| = |(4z-2) - 2| = |4z-4| = 4|z-1| < 4d = e

Exemplo 2: Para provar que z²=9 através da definição de limite, devemos mostrar que, dado >0, existe um d>0, tal que se 0<|z-3|<d, então vale a desigualdade:

|z²-9| < e

Aqui existe uma dificuldade maior e iremos trabalhar de trás para a frente e considerar que esta última afirmação seja verdadeira, realizando uma análise envolvendo e e d. Assim:

|z²-9| = |(z-3)(z+3)| < e

Como esperamos que d seja arbitráriamente pequeno, podemos supor 0<d<1 e assim, 0<|z-3|<d<1.

Pela desigualdade triangular e pela desigualdade acima, temos

|z+3| = |(z-3) +6| < |(z-3)| +6 < 1+6 = 7

o que implica

|(z-3)(z+3)| < 7d

Escolhendo d = min{1,e/7} e 0<|z-3|<d, então segue que:

|z²-9| < e

ou seja

z² = 9

Exemplo 3: Para o limite z², podemos perceber que quando z está bastante próximo de i, os valores de f(z) estarão muito próximos de -1. Suspeitamos então que f(z)=-1. Para provar isto, devemos mostrar que, dado >0, existe um d>0, tal que se tivermos que 0<|z-i|<d, então:

|z² - (-1)| < e

Considerando que esta última desiqualdade seja verdadeira, obteremos

|z² - (-1)| = |(z - i) (z + i)| < e

Como esperamos que d seja arbitráriamente pequeno, faremos a suposição que 0<d<1 para tomar 0<|z-i|<d<1.

Pela desigualdade triangular e pela desigualdade acima, temos

|z+i| = |(z-i) + 2i| < |(z-i)| + 2 < 1+2 = 3

este fato implica que|(z-i)(z+i)|<3d.

Escolhendo d=min{1,e/3}, obteremos para 0<|z-i|<d que:

|z² + 1| < e

ou seja

z² = -1

Exemplo 4: A função f(z)=(z²+1)/(z-i) não está definida para z=i, mas

De fato, como zi podemos simplificar a função f=f(z) de moddo que possa ser escrita na forma f(z)=(z²+1)/(z-i)=z+i

Desse modo, |f(z)-2i|=|(z+i)-2i|=|z-i|. Assim, para todo >0, obtemos para 0<|z-i|<d que

|f(z)-2i| = |z-i| < e

desde que d=e.

Função limitada e limite da função complexa

Diz-se que uma função f:DC é limitada, se o conjunto imagem f(D) é um conjunto limitado. Diz-se que f é limitada na vizinhança de z₀, se existe um disco aberto ou fechado centrado em f(z₀), contendo todos os pontos próximos a f(z₀).

Relação entre função limitada e limite da função: Nem toda função limitada sobre um conjunto possui limite em pontos deste conjunto.

Exemplo: A função definida por f(z)=Im(z²)/|z²|, z0 não possui limite quando z tende a zero, mas é limitada pois 0<f(z)<1. A demonstração deste fato será realizada mais à frente.

Limites no infinitos e limites infinitos

Observação: No plano complexo, precisamos dar sentido à palavra infinito. Todo número complexo z pode ser escrito na forma z=r.exp(it) e o módulo de z é dado por |z|=|r|. Quando escrevemos que z tende a infinito (z), estamos entendendo que o número |r| é arbitrariamente grande, o que significa geometricamente que z está muito longe da origem.

Teorema: Seja f:DC. Estabeleceremos os limites que envolvem o infinito.

1. Diz-se que a função f=f(z) tem limite finito L quando z e escrevemos

   f(z) = L

   se, dado qualquer >0, existe um M>0 tal que se |z|>M então |f(z)-L|<.

   
   

2. Diz-se que uma função f=f(z) tende a + quando zz₀ e escrevemos

   f(z) =

   se dado qualquer N>0, existe um d>0 tal que

   Se |z-z₀|<d   então   |f(z)|>N

3. Diz-se que uma função f=f(z) tende a + quando z e escrevemos

   f(z) =

   se, dado qualquer N>0, existe um M>0 tal que

   Se |z| > M   então   |f(z)| > N

Unicidade do limite de uma função complexa

Se o limite de uma função f(z) existe, ele deve ser único.

Demonstração: Devemos mostrar que se f(z)=A e f(z)=B então A=B.

Pela definição de limite, dado >0, devemos encontrar d>0 tal que

Se  |z - z₀| < d   então  |f(z) - A| < e/2
Se  |z - z₀| < d   então  |f(z) - B| < e/2

Assim,

|A-B|=|A-f(z)+f(z)-B|<|A-f(z)|+|f(z)-B|</2+e/2=e

Isto quer dizer que |A-B| é menor do que qualquer número positivo (suficientemente pequeno), logo deve ser zero. Assim A=B.

Teoremas sobre limites

Sejam f(z)=A e g(z)=B , então

1. [f(z) + g(z)] = f(z) + g(z) = A + B

2. [f(z) - g(z)] = f(z) - g(z) = A - B

3. [f(z) · g(z)] = f(z) · g(z) = A · B

4. [f(z) / g(z)] = f(z) / g(z) = A/B, se B0.

Demonstração (1): Pela definição de limites devemos mostrar que dado qualquer >0, existe d>0 tal que

|[f(z)+g(z)] - [A+B]|<   desde que    0<|z-z₀|<d

Temos,

|[f(z) + g(z)] - [A + B]| = |[f(z) - A] + [g(z) - B]| < |f(z) - A| + |g(z) - B|

Como, f(z)=A e g(z)=B, dado >0, existem d₁>0 e d₂>0 tais que

|f(z) - A| < e/2   desde que   0 < |z - z₀| < d₁
|g(z) - B| < e/2   desde que   0 < |z - z₀| < d₂

Destas considerações, concluímos que se 0 <|z-z₀| < d, então

|[f(z)+g(z)] - [A+B]|</2 + e/2 = e

onde d=min(d₁,d₂)

Demonstração (2): Demonstração analoga ao ítem anterior tomando o limite da soma [f(x)+(-g(x)]

Demonstração (3): Para demonstrar o item 3, segue que;

|f(z)g(z)-AB| = |f(z)(g(z)-B) + B(f(z)-A)|
              < |f(z)||g(z)-B| + |B||f(z)-A|
              < |f(z)||g(z)-B| + (|B|+1)|f(z)-A|

Assim,

|f(z)g(z)-AB|<|f(z)||g(z)-B|+(|B|+1)|f(z)-A|      (1)

Como f(z)=A, dado e =1, existe d₁>0 tal que

|f(z) - A| < 1    desde que    0 < |z - z₀| < d₁

Como |f(z) - A| < |f(z)| - |A|, temos que,

1 > |f(z)| - |A|    ou    |f(z)| < |A| + 1

isto é, |f(z)|<k, onde k é uma constante positiva.

Como g(z)=B, dado >0, existe d₂>0 tal que

|g(z) - B| < e/2k    desde que    0 < |z - z₀| < d₂

Como f(z)=A, dado >0, existe d₃>0 tal que

|f(z) - A|</2(|B| + 1)  desde que   0<|z - z₀|<d₃

Usando estes resultados em (1), temos

|f(z)g(z) - AB| < ke/2k + (|B| + 1) e/2 (|B| + 1) = e

onde 0<|z-z₀|<d, com d=min(d₁,d₂,d₃)

Demonstração (4):Para demonstrar o item 4, usaremos o item anterior, e mostraremos apenas que 1/g(z)=1/B pois,

Dado =|B|/2, existe d₂>0 tal que

se    0<|z - z₀| < d₂    então   |g(z) - B| < |B|/2

Então:

|1/g(z) - 1/B| = |(B - g(z)) / (g(z).B)|<|B - g(z)|/|B|²

Como por hipótese, g(z)=B, dado >0, existem d₁>0 tal que

|g(z)-B|<    desde que    0<|z-z₀|<d₁

Escolhendo d=min(d₁,d₂), teremos

|1/g(z) - 1/B| < 2/|B|²  sempre que  0 < |z - z₀| < d

o que completa a demonstração.

Com este teorema podemos calcular diretamente os limites.

Exemplo 1

Para calcular 3z²-4z+3 aplicamos diretamente as propriedades 1, 2 e 3 do último teorema.

3z² - 4z + 3 = 3z . z - 4z + 3 =
3.3.3 - 4.3 + 3 = 18

Exemplo 2

Dada a função f(z)=(z²-1)/(z-1), vemos que ela não está definida para z=1, assim como z1, f(z)=(z²-1)/(z-1)=(z+1)(z-1)/(z-1)=z+1, então

Decomposição de uma função e a relação com o limite

Seja a função w=f(z) com domínio D. Decompondo esta função complexa w em suas partes real e imaginária, teremos:

w = u(x,y) + iv(x,y)

sendo u=u(x,y) e v=v(x,y) funções reais, definidas no subconjunto D, agora pensado como um conjunto de R².

Desse modo, uma condição necessária e suficiente para que f(z)=L=a+bi, com z₀=x₀+iy₀, é que, a e b sejam, respectivamente, os limites das funções reais u=u(x,y) e v=v(x,y) em z₀=(x₀,y₀), isto é:

f(z)= u(x,y)+iv(x,y)=a+bi=L

Esta forma de decomposição é utilizada para mostrar que algumas funções complexas não possuem limite em algum ponto, isto é feito considerando que o limite quando existe é único, então se exibirmos para uma dada função dois limites diferentes quando tomamos caminhos diferentes estaremos mostrando que o limite não existe.

Exemplo 1

Para mostrar que (2x+iy²)=-4i, consideramos z=x+iy, então z₀=0+2i, assim,

(2x+iy²) = 2x + iy² = -4i

Exemplo 2

Não existe o limite lim_z0 /z

Para que o limite exista, ele não pode depender da maneira como z se aproxima do ponto 0. Suponha que z0 ao longo do eixo OX. Assim, y=0, z=x+iy=x e = x-iy=x, logo, o limite fica mais simples

Consideremos agora z0 ao longo do eixo OY. Assim, x=0, z=x+iy=iy e =x-iy=-iy, logo, o limite pode ser simplicado a

Pelo Teorema da unicidade do limite, independente da maneira como z se aproxima de 0, o limite deveria ser o mesmo, e nesse caso, não existe o limite.

Exemplo 3

Não existe o limite lim_z0 Im(z²)/|z²|,

Para que o limite exista, ele não pode depender da maneira como z se aproxima do ponto 0. Suponha que z0 ao longo do eixo OX. Assim, y=0, z=x+iy=x e Im(z²)/|z²|=(2xy)/x²+y²= 0/x²=0, logo, o limite fica mais simples

0=0

Consideremos agora z0 ao longo da reta y=x. Assim, Im(z²)/|z²|=(2x²)/x²+x²=1, logo, o limite fica mais simples

1=1

Pelo Teorema da unicidade do limite, independente da maneira como z se aproxima de 0, o limite deveria ser o mesmo, assim neste caso, não existe o limite.

Exemplo 4: Mostraremos que

Precisamos mostrar que para z suficientemente próximo de 2i, |f(z)| torna-se muito grande, em linguagem matemática podemos escrever: Para todo N>0, existe um d>0 tal que, se |z-2i|< d, então

||>N

Primeiramente, precisamos saber como |f(z)| se comporta para valores de z próximos de 2i, supondo 1<|z|<3

|f(z)|=|z/(z-2i)|=|z|/|z-2i|>1/|z-2i|

Dado N>0, |f(z)| será maior que N se

1/|z-2i|>N

ou seja,

0<|z-2i|<1/n

Concluímos então que d<1/N, mas devemos também exigir que 1<|z|<3, sendo assim d também deve ser menor que 1.

d=min{1/N,1}

Exemplo 5: Mostraremos que

(4iz-3)/(3z-i)=4i/3

Devemos mostrar que a distância entre f(z) e 4i/3 será arbitráriamente pequena para valores de |z| suficientemente grandes, para isto devemos garantir que, dado qualquer >0, existe M>0 tal que, para |z|>M, teremos,

|(4iz-3)/(3z-i)-4i/3|<

Como

|(4iz-3)/(3z-i)-4i/3|=|-13/(9z-3i)|<13/(9|z|-3)

esta úlima desiqualdade é facilmente verificada se observarmos que |9z-3i|>||9z|-|3i||>9|z|-3

podemos supor |z|>3 uma vez que esperamos M suficientemente grande

|(4iz-3)/(3z-i)-4i/3|<13/(9|z|-3)<13/(8|z|+(|z|-3))<13/8|z|

e isto será menor que e se |z|>13/8, escolhendo M tal que,

M=max{3,13/8}

obtemos

|(4iz-3)/(3z-i)-4i/3|<

Exercícios

1. Aplicando a definição de limite provar que:

   1. lim_z2  3x-5i=6

   2. lim_z3  (z²-9)/(z-3)=6

2. Provar que lim_z15z=5 e interpretar geometricamente a relação entre e e d.

Sugestão: tomar d=e/5.

3. Provar que a expressão lim_z2z²=4,001 é falsa.

   Sugestão: Escolher um valor apropriado para para mostrar que a expressão matemática é falsa.

4. Calcular os limites

   1. l₁=lim_z3(z⁴-81)/(z²-9)

   2. l₂=lim_z4(z²-2z-8)/(z²+2z-24)

   3. l₂=lim_z01+z-(1-z)/z

	Construída por Sonia F.L.Toffoli.