Matemática Essencial:  Alegria  Financeira  Fundamental  Médio  Geometria  Trigonometria  Superior  Cálculos
Ensino Superior: Variáveis Complexas: Funções de variável complexa

O conceito de função complexa

Consideremos um subconjunto D do plano complexo C. Uma função complexa é uma correspondência que associa a cada elemento z em D um único número w=f(z) em C. Notações comuns para representar uma função complexa são: f:DtoC, z em Dtow=f(z) em C ou w=f(z)

O domínio de f, denotado por Dom(f), é o subconjunto D dos números complexos onde a função está bem definida. A imagem de f, denotada por Im(f), é o subconjunto dos números complexos f(D)={f(z):z em D}.

Dada uma função w=f(z), com z=x+iy e w=u+iv, podemos ter a seguinte interpretação geométrica da aplicação f:D toC:

comp15


É usual considerar a regra de definição da função w=f(z) sem especificar o seu domínio. Neste caso, fica subtendido que o domínio da função é o maior subconjunto dos números complexos no qual a aplicação w=f(z) faz sentido.


Exemplos

  1. Seja a função complexa f(z)=z²=(x+iy)². Como no caso real, funções polinomiais estão definidas para todos os valores de z. Sendo assim, o domínio desta função é todo o plano complexo.

  2. Seja f(z)=1/z. Como não podemos ter divisão por zero, o domínio desta função é todo o plano complexo exceto o número z=0=0+0i.

    comp34

  3. Seja f(z)=(z-3i)/(z+8). Neste exemplo, o domínio é todo o plano complexo exceto o número z=-8.


Observações

  1. Em uma aplicação w=f(z), se as variáveis z e w são complexas, f é dita função complexa de uma variável complexa. Por exemplo, a função f(z)=z² é uma função complexa da variável complexa z.

  2. Se o domínio da função é um subconjunto dos números complexos e a imagem é um subconjunto dos números reais, w=f(z) é uma função real de uma variável complexa. Como exemplo, a função f(z)=|z| é uma função real da variável complexa z.

  3. Se o domínio da função é um subconjunto do conjunto R dos números reais e a imagem é um subconjunto do conjunto C dos números complexos, a função w=f(z) é complexa de variável real. Como exemplo, considere a função f(x,y)=x+iy com x e y números reais.

  4. A restrição da função f:DtoC ao subconjunto S do domínio D é uma função f1:StoC, tal que f(z)=f1(z) para todo z em S.

    comp35

  5. A extensão da função f:DtoC ao conjunto T que contém o domínio D é uma função F:TtoC, tal que f(z)=F(z) para todo z em D. Por exemplo, a função f(z)=ez é uma extensão importante da função real f(x)=ex. Também, as funções f(z)=cos(z), f(z)=sin(z), f(z)=tan(z) são extensões das respectivas funções reais, entre muitas outras.


Funções uniformes e multiformes

Uma função w=f(z) é uniforme ou unívoca se a cada valor de z, corresponde um único valor de w. Funções plurívocas, multiformes ou multivalentes são funções que para um valor dado da variável z, associam dois ou mais números w=f(z) distintos.


Exemplos

  1. A função w=z² é uniforme (unívoca) pois para cada z existe um único valor de w.

  2. A função w=z1/2 é multiforme (plurívoca), pois para cada valor de z, o valor de w não é único.

Este assunto é de natureza um pouco delicada e será tratado com maior atenção posteriormente.


Decomposição de uma função complexa

Uma função w=f(z) de variável complexa pode ser decomposta em duas funções reais de R², sendo elas a parte real da função f, que denotaremos por u(x,y)=Re[f(z)] e a parte imaginária da função f que denotaremos por v(x,y)=Im f(z).


Exemplos

  1. A função f(z)=z², z=x+iy pode ser decomposta em u(x,y)=x²-y² e v(x,y)=2xy, pois:

    f(z) = (x+iy)² = (x+iy)(x+iy) = (x²-y²+i2xy) = (x²-y²) + (2xy)i

  2. A função w=z³ (z=x+iy), pode ser decomposta em u(x,y)=x³-3xy² e v(x,y)=3x²-y³, pois:

    f(z) = (x+iy)³ = (x+iy)(x+iy)² = (x+iy)(x²-y²+2xyi) = (x³-3xy²)+(3x²-y³)i

  3. Para a função definida por f(z)=z.ez=z.exp(z) teremos:

    f(z)=(x+iy)exp(x+iy) 
        =(x+iy)exp(x)exp(iy)
        =(x+iy)exp(x)[cos(y) + isin(y)]
        =exp(x)[x.cos(y)-y.sin(y)]+exp(x)[xsin(y)+ycos(y)]i
    

    então

    u(x,y) = ex[x.cos(y) - y.sin(y)] 
    v(x,y) = ex[x.sin(y) + y.cos(y)]


Representação geométrica

Usualmente, uma função f:RtoR pode ser visualizada pelo traçado do gráfico de f=f(x) em um sistema de coordenadas retangulares com um dos eixos para a variável do domínio x e o outro para a variável da imagem y.

Para funções complexas f:CtoC a visualização de gráficos não é tão simples pois o plano complexo C é bidimensional e seria necessário um espaço de quatro dimensões para o traçado do gráfico da função w=f(z).

Como um espaço de quatro dimensões é difícil vizualizar geometricamente, devem ser usadas outras técnicas para a visualização de gráficos de funções complexas.

Um método comum é considerar dois planos complexos, um para a variável z e outro para a variável w. No plano w traçamos a imagem da função f sobre algumas curvas no plano do domínio z.

A correspondência entre pontos de z e w é denominada transformação de pontos de z em pontos de w pela função f.


Exemplo

  1. Um ponto P do plano z, se move descrevendo um círculo unitário de centro na origem e no sentido anti-horário. Se a tranformação for dada por w=f(z)=z², a imagem P' de P no plano w descreve 2 voltas completas no círculo unitário de centro na origem no sentido anti-horário enquanto o ponto P descreve uma volta completa no pano z.

    Seja z=r.eit, como o círculo é unitário, |z|=1, r=1 e z=eit.

    Desse modo, w=z²=(eit)²=e2it, denotando por r' e t' as coordenadas no plano w, obteremos w=r'eit'=e2it, logo r'=1 e t'=2t.

    comp37comp38

    Com isto, concluímos que enquanto o ponto P se move sobre o círculo unitário no plano z, a imagem P' se move sobre um círculo de raio unitário e centro na origem no plano w, pois r'=1 e enquanto P descreve um ângulo t no plano z, a imagem P' descreve um ângulo 2t no plano w.

  2. Considere a função f(z)=z² e examinaremos a imagem no plano w transformada por esta função sobre as retas x=±1 e y=±1.

    comp40

    A equação paramétrica do segmento de reta com extremidades nos pontos z1 e z2 é dada por z(t)=z1+t(z2-z1) com 0<t<1. Assim, se z1=-1-i e z2=-1+i com 0<t<1

    z(t)=z1+t(z2-z1)=(-1-i)+t(2i)=-1+i(-1+2t)

    Observe que z é uma função de t e w também é uma função de t pois é a composta w=f(z(t))=(z(t))², para 0<t<1 teremos

    w(t)=[-1+i(-1+2t)]²=(4t-4t²)+i(2-4t)

    Mostramos um esboço do gráfico no plano w na figura seguinte.

    comp42

    A equação paramétrica do segmento de reta com extremidades nos pontos z2=-1+i e z3=1+i, para 0<t<1 é dada por:

    z(t)=z2+t(z3-z2)=(-1+i)+t(2)=(-1+2t)+i   

    assim, para 0<t<1

    w(t)=[(-1+2t)+i]²=(-4t+4t²)+i(-2+4t)

    Um esboço do gráfico é mostrado na sequência.

    comp43

    A equação paramétrica do segmento de reta com extremidades nos pontos z3=1+i e z4=1-i, para 0<t<1 é dada por:

    z(t)=z3+t(z4-z3)=(1+i)+t(-2i)=1+i(1-2t)

    então, para 0<t<1

    w(t)=[1+i(1-2t)]²=(4t-4t²)+i(2-4t)

    A equação paramétrica do segmento de reta que passa pelos pontos z4=1-i e z1=-1-i, com 0<t<1 é dada por:

    z(t)=z4+t(z1-z4)=(1-i)+t(-2)=(1-2t)-i

    assim, para 0<t<1

    w(t)=[(-1-2t)-i]²=(-4t+4t²)+i(-2+4t)

    Estas duas últimas equações repetem as parábolas traçadas anteriomente.

    Então as imagens no plano w das retas x=±1 e y=±1 são parábolas como as ilustradas na figura seguinte.

    comp39

    Para retas x=±c e y=±c, onde c é uma constante real, as imagens também serão parábolas como estas com as interseções com os eixo coordenados em outros pontos.


Valid XHTML 1.0! Construída por Sonia F.L.Toffoli.