Equações paramétricas de curvas no plano complexo

Um meio eficiente de estudar curvas no plano complexo é através de equações paramétricas. As coordenadas dos pontos da curva são dadas como funções x=x(t) e y=y(t) de uma variável real t em [a,b], que é denominada parâmetro.

A curva é orientada no sentido em que o parâmetro t cresce, para a<t<b, temos:

C = {z em C: z = z(t) = x(t) + iy(t)}

Uma curva orientada complexa, construída como um conjunto de pontos em R², consiste de pares ordenados da forma [x(t),y(t)] com a<t<b. O sentido positivo da curva C é aquele dado quando se faz t crescer.

Ordenando pontos sobre uma curva

Seja C uma curva parametrizada por z=z(t) onde t é um parâmetro pertencente ao intervalo [a,b]. Se P e Q são dois pontos da curva C tal que P=z(t₁) e Q=z(t₂), sendo t₁<t₂, dizemos que P está colocado antes de Q na curva e denotamos isto por

P = z(t₁)  z(t₂)=Q

Quando t cresce de a até b, os pontos z=z(t) percorrem a curva C desde z(a) até z(b). O número complexo z(a) é a origem da curva C e z(b) é a extremidade da curva C. Tais pontos são denominados os extremos da curva C. Os pontos de C estão assim ordenados (em função de t) e por esta razão a curva é denominada uma curva orientada.

Equação paramétrica da reta no plano complexo

Sejam A=(x₁,y₁) e B=(x₂,y₂) pontos fixados no plano cartesiano representando, respectivamente, os números complexos z₁=x₁+iy₁ e z₂=x₂+iy₂. Seja P=(x,y) um ponto arbitrário da reta que passa pelos pontos A e B, de modo que z=x+iy seja um número complexo.

Desse modo, tratando os números complexos como vetores, temos:

OA + AP = OP implica que z₁ + AP = z 
OA + AB = OB implica que z₁ + AB = z₂

Como AP=z-z₁ e AB=z₂-z₁ são colineares, temos que AP=t(AB), ou ainda, z-z₁=t(z₂-z₁) onde t é um número real.

A equação paramétrica da reta que passa pelos pontos A e B é dada pela equação

z = z(t) = z₁ + t(z₂ - z₁)  t em R

Parametrização de segmento no plano complexo

Para a equação do segmento de reta com extremidades A e B, tomamos t no intervalo real [0,1] na equação paramétrica da reta. Assim, para 0<t<1:

z = z(t) = z₁ + t(z₂ - z₁)

Esta equação é a parametrização (representação paramétrica) do segmento de reta, com origem em A=z(0) e extremidade B=z(1). Usaremos a notação [A,B] para denotar o segmento de reta com origem em A e extremidade em B. Esta notação é semelhante àquela de um intervalo fechado na reta real.

Exemplo: O segmento de reta de A=1-2i até B=-3+4i tem equação paramétrica:

z(t)=(1-2i)+t(-4+6i),   (0<t<1)

Ponto médio de um segmento no plano complexo

Para obter o ponto médio de um segmento de reta [u,v] com equação paramétrica

z(t) = u + t(v - u) = (1 - t)u + tv    (0< t < 1)

basta tomar t=1/2. Realmente, se u=x₁+iy₁ e v=x₂+iy₂, o ponto médio do segmento [u,v] tem coordenadas:

x_m = (x₁+x₂)/2   e   y_m = (y₁+y₂)/2

Exercício: Sejam u=1+2i, v=4-2i e w=-3+i vértices de um triângulo no plano complexo. Obter a equação da mediana que passa por u e pelo ponto médio do segmento [v,w].

Distância entre pontos no plano complexo

Se u=x₁+iy₁ e v=x₂+iy₂, definimos a distância entre u e v, como:

d(u,v)=|u-v|=

Circunferência no plano complexo

Uma circunferência centrada em p é o lugar geométrico de todos os números complexos z, que estão a uma distância fixa de p, denominada raio da circunferência. Se p=a+bi=(a,b) é o centro da circunferência e z=x+iy=(x,y) é um ponto qualquer da circunferência, a distância entre z e p é fixa, normalmente denotada por r. Assim |z-p|=r, ou seja:

(x-a)²+(y-b)²=r²

Conceitos topológicos no plano complexo

Apresentaremos agora, algumas noções elementares sobre a topologia do plano complexo. Alguns desses conceitos são similares aos da reta real. Estas noções são baseadas na forma de medir a distância entre dois pontos do plano complexo. Existem muitas formas para realizar isto.

Disco aberto: Seja p um número complexo e r um número real positivo. Um disco aberto de centro em p e raio r é o conjunto de todos os números complexos z tal que a distância de z a p seja menor do que r. Podemos denotar este conjunto por:

D_r(p) = {z: |z-p|<r}

Exemplo: O conjunto dos números complexos z tal que |z-(-2+2i)| < 2 é o disco aberto de centro em p=-2+2i e raio r=2.

Disco fechado: Seja p um número complexo e r um número real positivo. Um disco fechado de centro em p e raio r é o conjunto de todos os números complexos z tal que a distância de z a p seja menor ou igual a r. Denotamos isto por

D_r[p] = {z: |z-p|<r }

Exemplo: O conjunto de todos os números complexos z tal que |z-(2+2i)| < 2 é o disco fechado centrado em p=-2+2i e raio r=2.

Vizinhança aberta: Diz-se que S é uma vizinhança aberta de um número complexo p se, existe um disco aberto centrado em p com um raio positivo r, inteiramente contido em S.

Vizinhança fechada: Diz-se que um conjunto S é uma vizinhança fechada de um número complexo p se, existe um disco fechado centrado em p com um raio positivo r, inteiramente contido em S.

Ponto de acumulação: Um número complexo p é ponto de acumulação de um conjunto S, se toda vizinhança aberta de p contém pontos de S, que são diferentes do próprio p. Observe que p pode não estar no conjunto S.

Exemplo: O número complexo p=i é um ponto de acumulação do conjunto S={i-1/n: n=1,2,3,4,...}.

Ponto de aderência: Um ponto p é ponto de aderência de um conjunto S, se toda vizinhança aberta de p contém pontos de S. Observe que p pode não pertencer ao conjunto S.

Observação: Existe uma diferença bastante sutil entre os conceitos de ponto de acumulação e ponto de aderência, como podemos observar pelo exemplo seguinte.

Exemplo: Cada número complexo do conjunto S={i+n:n=1,2,...} é um ponto de aderência de S, mas nenhum dos pontos desse conjunto é um ponto de acumulação de S.

Ponto isolado: Um ponto p é ponto isolado se, p não é ponto de acumulação de um conjunto. Quando p é um ponto isolado, é possível construir um disco aberto centrado em p, contendo apenas este ponto.

Exemplo: Cada número complexo do conjunto S={i+n: n=1,2,...} é um ponto isolado de S.

Conjunto fechado: Um conjunto S é fechado, se todo ponto de acumulação de S pertence ao conjunto S.

Exemplos:

1. Todo disco fechado é um conjunto fechado.

2. O conjunto S={i-1/n: n=1,2,...} não é fechado, pois o número complexo z=i é um ponto de acumulação de S e não pertence ao conjunto S.

Conjunto aberto: Um conjunto S é aberto, se o seu complementar S^c é um conjunto fechado.

Conjunto limitado: Um conjunto S é limitado, se existe uma constante M>0 tal que |z|<M para todo z em S. Se o conjunto não é limitado, ele é dito ilimitado.

Conjunto compacto: Um conjunto S do plano complexo é dito compacto, se é, ao mesmo tempo, um conjunto fechado e limitado.

Ponto interior: Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S, se existe uma vizinhança aberta de p inteiramente contida em S.

Ponto de fronteira: Um ponto p é um ponto de fronteira de um conjunto S, se toda vizinhança de p contém pontos que estão em S e pontos que não estão em S.

Exemplo: O conjunto dos números complexos z tal que |z|=2 é a fronteira do disco centrado na origem com raio r=2.

Ponto exterior: Um ponto p é um ponto exterior a um conjunto S, se ele não é ponto interior de S e também não é ponto da fronteira do conjunto S.

Conjunto aberto: Um conjunto S é aberto, se todos os pontos de S são pontos interiores.

Linha poligonal: Consideremos os pontos u_o, u₁, u₂, u₃,..., u_n no plano complexo. Uma linha poligonal é a reunião dos segmentos de reta [u_j-1,u_j] com j=1,2,3,...,n. O ponto inicial é u_o e a extremidade é u_n.

É possível parametrizar uma tal linha poligonal através de uma função z=z(t) com a<t<b, de modo que u_o=z(a) e u_n=z(b).

Devemos particionar o intervalo [a,b] em n subintervalos [t_o,t₁], [t₁,t₂], ..., [t_n-1,t_n], com:

a=t₀<t₁<t₂<...<t_n-1<t_n=b

Cada subintervalo [t_j-1,t_j] com j=1,...,j=n, está associado a um segmento de reta [z(t_j-1),z(t_j)], sendo que a extremidade de cada segmento coincide com o início do segmento de reta seguinte. Isto significa que a curva é formada pela reunião (finita) destes segmentos de reta.

Conjunto conexo (por caminhos): Um conjunto S é conexo (por caminhos), se quaisquer dois pontos de S podem ser ligados por uma linha poligonal inteiramente contida no conjunto S.

Exemplo: O conjunto S={z:2<|z|<3} de todos os números complexos localizados fora do disco fechado com raio 2 e dentro do disco aberto de raio 3, ambos centrados na origem, é um conjunto aberto e também conexo.

Domínio complexo: Um conjunto S do plano complexo é denominado domínio se é, ao mesmo tempo, aberto e conexo.

Exercícios

1. Representar graficamente os seguintes conjuntos de pontos.

   1. |z|=2

   2. 4<|z|<10

   3. Re(z+1/i+1)>0

   4. Im(z-i/i)<0

   5. |z-i/i-1|=2

   6. 2<|z-i/i|<3

2. Qual é a equação cartesiana da curva complexa z=(1-t²)+2ti, (-1<t<1). Construir um esboço gráfico desta curva.

	Construída por Sonia F.L.Toffoli.