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Ensino Superior: Variáveis Complexas: Números complexos

Os números complexos

Os números complexos são úteis para resolver equações do tipo x²+1=0 uma vez que não existe qualquer número real com a propriedade que o seu quadrado seja igual a -1. Todo número complexo tem a forma a+bi, onde a e b são números reais e a unidade imaginária i tem a propriedade i²=-1.

Dado o número complexo z=a+bi, então a é a parte real de z, denotada por Re(z) e b é a parte imaginária de z, denotada por Im(z).

O conjunto dos números reais pode ser considerado como um subconjunto dos números complexos com b=0. Se a=0 o número complexo 0+bi=bi é dito um número imaginário puro.


Exemplos

  1. z=3+0i, Re(z)=3 e Im(z)=0, é um número real.

  2. z=7+4i, Re(z)=7 e Im(z)=4, é um número complexo.

  3. z=0+5i, Re(z)=0 e Im(z)=-5, número imaginário puro.

  4. z=-2+0i, Re(z)=-2 e Im(z)=0, é um número real.

  5. z=0+0i, Re(z)=0 e Im(z)=0, é um número real.


Igualdade de números complexos

Dois números complexos z=a+bi e w=c+di são iguais se, e somente se, a=c e b=d.


Exercício: Determinar números reais x e y que satisfazem à igualdade 3x+2iy-ix+5y=7+5i.


Adição (e subtração) de números complexos

Sejam os números complexos z=a+bi e w=c+di. Definimos a adição (subtração) entre os números complexos z e w, como:

z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z - w = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i


Exercícios: Efetue as seguintes operações:

  1. A=(8+7i)+(5-3i)

  2. B=(2+3i)-(8-6i)


Multiplicação de números complexos

Sejam os números complexos z=a+bi e w=c+di. Definimos a multiplicação entre os números complexos z e w, como

z.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Exercício: Efetue as seguintes operações:

  1. A=(5-4i).(7-3i)

  2. B=(7-2i)²-2i(5-i)

  3. C=(1+i/5).(-8/3+6i)

  4. D=(1+i3)³


O conjugado de um número complexo

O conjugado de um número complexo z=a+bi é definido como o número complexo z_bar=a-bi.


Propriedades gerais do conjugado:

  1. O conjugado do conjugado de z é igual a z.

  2. O conjugado da soma de dois números complexos é igual à soma dos conjugados desses números.

  3. O conjugado do produto de dois números complexos é igual ao produto dos conjugados desses números.

  4. Se z for um número real, o conjugado de z é o próprio z.

  5. Re(z)=[z+z_bar]/2 e Im(z)=[z-z_bar]/2

As demonstrações devem ser realizadas pelo interessado.


Exercícios: Obter o conjugado de cada um dos números complexos:

  1. z=2i²-(5-i)

  2. w=(3-2i)-(1+i)(1-i)i


Divisão de números complexos

Sejam os números complexos z=a+bi e w=c+di. Definimos a divisão entre z e w, como

eq01

Muitas vezes usaremos a notação mais simples z/w para representar a divisão de z por w.

Exercício: Escreva na forma z=a+bi, cada uma das expressões abaixo:

  1. z=1/i

  2. z=(9-7i)/(1-5i)

  3. z=(1+i)/(1-i)

  4. z=1/(5+2i)

  5. z=(i/1+i)5

  6. z=(-2+3i)/(1+i2)


Valor absoluto de um número complexo

O módulo ou valor absoluto de um número complexo z=a+bi é definido com sendo o número real não negativo

eq02

Propriedades gerais do Valor absoluto: Se z e w são números complexos, então:

  1. |z| = |-z| = |z_bar|

  2. |z| > 0

  3. |z| = 0 se, e somente se, z=0

  4. |z.w| = |z|.|w|

  5. |z/w|= |z|/|w| se w # 0

  6. z.z_bar = |z|²

  7. |z+w| < |z|+|w|, (des.triangular)

  8. |z-w| < |z|+|w|, (des.triangular)

  9. |z|-|w| < |z-w|, (des.triangular)

  10. |Re(z)| < |z|

  11. |Im(z)| < |z|

Exercício: Determinar o valor da expressão z=|3u-4v| sabendo-se que u=2+i e v=3-2i.


O plano complexo

Podemos interpretar os números complexos como sendo pontos do plano cartesiano. Um número complexo z=a+bi pode ser representado pelo par ordenado (a,b) de números reais, portanto corresponde a um ponto P do plano cartesiano R² com coordenadas a e b.

Exemplos

  1. z=2+2i é representado pelo ponto (2,2)

  2. z=-2+2i é representado pelo ponto (-2,2)

  3. z=3-2i é representado pelo ponto (3,-2)

  4. z=-2-3i é representado pelo ponto (-2,-3)

Estes números estão representados no gráfico:

comp01


Interpretação vetorial dos números complexos

Um número complexo z=a+bi pode ser considerado como um vetor OP onde a origem deste vetor é a origem do plano cartesiano O=(0,0) e a extremidade é o ponto P=(a,b), desse modo o vetor tem coordenadas a e b.

comp41 comp08

As regras do paralelogramo para a soma e subtração de vetores também se aplicam para soma e subtração de números complexos.

Exercícios:

  1. Efetuar as operações indicadas analítica e graficamente.

    (a) z=(2+4i)+(3+2i)
    (b) w=(3-2i)-(3+4i)
    
  2. Se u e v são números complexos, construa graficamente os números complexos z e w abaixo:

    (a) z=3u-3v
    (b) w=v/2+u/3
    

Forma polar dos números complexos

Dado um número complexo não nulo z=a+bi, considere sua representação geométrica.

comp02

O argumento de z é o ângulo t formado entre o vetor OZ e o eixo OX e o módulo de z é a distância entre o número z e a origem do sistema cartesiano. Logo:

a= rcos(t)    e    b = r sen(t)

onde r=|z|=(a²+b²)1/2 e podemos escrever:

z = a+bi = r[cos(t) + i sen(t)]

Esta é a representação polar do número complexo z, onde r e t são suas coordenadas polares.

Também são usuais as notações

r cis(t) = r[cos(t)+isen(t)] =rz_l

Exercício: Para cada número complexo apresentado, escreva a sua forma polar e represente este número geometricamente.

  1. z=2+2i3

  2. z=-6-i2

  3. z=1+i

  4. z=-1-i(3)

  5. z=(-i/1-i)5

  6. z=(-5/3-i)


Fórmula de De Moivre

Sejam z1 e z2 números complexos, tal que z1=r1[cos(t1)+i.sen(t1)] e z2=r2[cos(t2)+i. sen(t2)]. Multiplicando estes números complexos, obtemos:

z1 z2=r1 r2[cos(t1)+isen(t1)][cos(t2) + i sen(t2)]
 =r1 r2[cos(t1) cos(t2) - sen(t1)sen(t2)] + r1 r2 i(sen(t1)cos(t2)+cos(t1) sen(t2)]
 =r1 r2[cos(t1+t2) + i sen(t1+t2)]

Concluímos que para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, basta multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos.

z1 z2 = r1 r2 [cos(t1+t2) + i sen(t1+t2)]

Vale um resultado análogo para a divisão de números complexos:

z1
z2
= r1
r2 
[cos(t1-t2) + i sen(t1-t2)]

Para dividir dois números complexos na forma trigonométrica devemos realizar o quociente de seus módulos e a diferença dos seus argumentos.

Se zj=rj[cos(tj)+isen(tj)], para j=1,2,...,n, então, temos uma generalização do fato acima:

z1.z2...zn = r1 r2 ··· rn[cos(t1+t2 +··· +tn)+isen(t1+t2 +··· +tn)]

Se z1=z2=...=zn e r=1, temos a Fórmula de De Moivre:

[cos(t) + i sen(t)]n = cos(nt) + i sen(nt)


Exercício: Demonstrar as seguintes identidades trigonométricas:

  1. sen(3t)=3 sen(t)-4 sin³(t)

  2. cos(3t)=4 cos³(t)-3cos(t)


Exercício: Efetuar cada uma das operações indicadas:

  1. z1=[4(cos(40º)+isen(40º)].[5(cos(80º)+isen(80º)]

  2. z2=[5.cis(20º)][3.cis(40º)]

  3. z3=[2.cis(50º)]6

  4. z4=[8.cis(40º)]³÷[2.cis(60º)]4


Raízes n-ésimas de números complexos

Um número complexo p é um zero (ou raiz) de uma função complexa f(z)=0 se f(p)=0. Um número w é uma raiz n-ésima de um número complexo z, se wn=z. A raiz n-ésima pode ser denotada por:

w=z_rn=z1/n

Consideremos os números complexos z e w na forma polar:

z = r [cos(t) + i sen(t)] 
w = R [cos(u) + i sen(u)]

Se wn=z, então usando a fórmula de De Moivre, obtemos:

Rn [cos(nu) + i sen(nu)] = r [cos(t) + isen(t)]

Igualando as partes reais e as partes imaginárias, teremos

Rn cos(nu) = r cos(t)
Rn sen(nu) = r sen(t)

Dessa forma, para todo k inteiro não negativo, temos

Rn = r
nu = t + 2kpi

Assim, wk indicará a k-ésima raiz por:

eq03

Se k>n, as raízes se repetem e basta tomar k=0,1,...,n-1 para esta fórmula produzir n raízes distintas do número complexo z.


Exemplo 1: As raízes cúbicas de 8i podem ser obtidas da seguinte forma. Se z=0+8i, então |z|=8 e t=pi/2. Logo:

r1/3 = 81/3 = 2

Os argumentos são

t0=(t+0pi)/3=pi/6, t1=(t+2pi)/3=5pi/6, t2=(t+4pi)/3=3pi/2

Assim, as raízes cúbicas de 8i são:

w0=2[cos(1pi/6) + i.sen(1pi/6)]=z_r3+i,
w1=2[cos(5pi/6) + i.sen(5pi/6)]=-z_r3+i,
w2=2[cos(3pi/2) + i.sen(3pi/2)] = -2i


As n raízes de um número complexo z pertencem a uma circunferência com o centro na origem e raio igual a |z|1/n, esses números dividem esta circunferência em n partes iguais.

As raízes cúbicas de 8i estão representadas na figura.

comp07


Exemplo 2: Para resolver a equação complexa z6-1=0, basta obter as 6 raízes complexas da unidade, ou seja, obter w tal que w6=1. Basta então obter w=11/6=1. Tomaremos z=1, r=1, t=arg(1)=0 e r1/6=11/6=1. Os argumentos das raízes são:

t0=t/6=0, t1=1pi/3, t2=2pi/3, t3=3pi/3, t4=4pi/3, t5=5pi/3

Portanto, as raízes de z6=1, são:

w0=cos(0pi/3) + i sen(0pi/3)=1
w1=cos(1pi/3) + i sen(1pi/3)=1/2 +i 3/2
w2=cos(2pi/3) + i sen(2pi/3)=-1/2 + i 3/2
w3=cos(3pi/3) + i sen(3pi/3)=-1
w4=cos(4pi/3) + i sen(4pi/3)=-1/2 - i 3/2
w5=cos(5pi/3) + i sen(5pi/3)=1/2 - i 3/2

As raízes de z6=1 estão representadas na figura abaixo.

comp09


Exercício: Obter as raízes das equações abaixo no conjunto dos números complexos e construir os gráficos correspondentes.

  1. z1/4=1

  2. z1/4=-1

  3. z³=-1

  4. z³=3

  5. z²+z+1=0

  6. z³-i=0

  7. z³+27i=0

  8. z²+(2i-3)z+5-i=0

  9. (1+3i)z²+4=0


Fórmula de Euler

Consideremos os desenvolvimentos em séries de potências das funções reais: exponencial, cosseno e seno.

exp(x)=ex= soma xn
n!
= 1 + x +
2!
+
3!
+ x4
4!
+ x5
5!
+...
cos(x)= soma (-1)nx2n
(2n)!
=1 -
2!
+ x4
4!
- x6
6!
+...
sen(x)= soma (-1)nx(2n+1)
(2n+1)!
= x -
3!
+x5
5!
- x7
7!
+...

Estudamos no curso de Cálculo de funções reais, que estas fórmulas são válidas para todo x real. Vamos admitir (de modo prematuro) que o desenvolvimento em série de potências de exp(x)=ex também seja válido para números complexos, isto é, que seja possível realizar o mesmo desenvolvimento para exp(z)=ez, mas tomaremos um caso particular em que a parte real do número complexo seja nula.


Assim, tomando z=0+iy=iy com y real, poderemos escrever:

eiy =1 + iy + (iy)²
2!
+ (iy)³
3!
+ (iy)4
4!
+ (iy)5
5!
+ (iy)6
6!
+...
=1 + iy -
2!
- i
3!
+ y4
4!
+ i y5
5!
- y6
6!
+...

Um estudo mais detalhado sobre séries absolutamente convergentes será realizado em um capítulo posterior. Tendo em vista que uma série absolutamente convergente, permite rearranjar os termos da série, separaremos a parte real desta série de sua parte imaginária.

eiy=(1 -
2!
+ y4
4!
- y6
6!
+...) + i(y -
3!
+ y5
5!
- y7
7!
+...)

Comparando com as séries de potências das funções cosseno e seno, temos:

eiy = cos(y) + i sen(y)


A função exponencial complexa

Baseado no que foi discutido acima, definimos a função exponencial de um número complexo z=x+iy, como:

exp(z) = ez = ex+iy = exeiy = ex[cos(y)+i.sen(y)]


Propriedades da exponencial complexa: Quaisquer que sejam os números complexos z e w, valem as seguintes propriedades:

  1. ez.ew=ez+w

  2. e-z=1/ez

  3. [ez]n=enz (n inteiro)

  4. ez#0

  5. |ez|=eRe(z)

  6. ez=1 se, e somente se, z=2kpii, onde k é um número inteiro.


Notação compacta de um número complexo: A partir da definição de exponencial de um número complexo z, podemos escrevê-lo na forma polar com a notação compacta z=r.ei.t, onde r=|z| e t é o argumento de z.


Exemplo: O número complexo z=-1+i3 tem módulo |z|=2 e argumento t=2pi/3, logo z=2e2pii/3.


Observação: Existe uma conexão entre a exponencial, o cosseno e o seno:

cos(t)=[eit+e-it]/2   e   sen(t)=[eit-e-it]/(2i)


Exercícios: Escrever cada um dos números complexos na forma z=r.eit.

  1. z=2-2i

  2. z=22+22i

  3. z=-i

  4. z=-1-i3

  5. z=-5

  6. z=-3-4i


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