Os números complexos

Os números complexos são úteis para resolver equações do tipo x²+1=0 uma vez que não existe qualquer número real com a propriedade que o seu quadrado seja igual a -1. Todo número complexo tem a forma a+bi, onde a e b são números reais e a unidade imaginária i tem a propriedade i²=-1.

Dado o número complexo z=a+bi, então a é a parte real de z, denotada por Re(z) e b é a parte imaginária de z, denotada por Im(z).

O conjunto dos números reais pode ser considerado como um subconjunto dos números complexos com b=0. Se a=0 o número complexo 0+bi=bi é dito um número imaginário puro.

Exemplos

1. z=3+0i, Re(z)=3 e Im(z)=0, é um número real.

2. z=7+4i, Re(z)=7 e Im(z)=4, é um número complexo.

3. z=0+5i, Re(z)=0 e Im(z)=-5, número imaginário puro.

4. z=-2+0i, Re(z)=-2 e Im(z)=0, é um número real.

5. z=0+0i, Re(z)=0 e Im(z)=0, é um número real.

Igualdade de números complexos

Dois números complexos z=a+bi e w=c+di são iguais se, e somente se, a=c e b=d.

Exercício: Determinar números reais x e y que satisfazem à igualdade 3x+2iy-ix+5y=7+5i.

Adição (e subtração) de números complexos

Sejam os números complexos z=a+bi e w=c+di. Definimos a adição (subtração) entre os números complexos z e w, como:

z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z - w = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Exercícios: Efetue as seguintes operações:

1. A=(8+7i)+(5-3i)

2. B=(2+3i)-(8-6i)

Multiplicação de números complexos

Sejam os números complexos z=a+bi e w=c+di. Definimos a multiplicação entre os números complexos z e w, como

z.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Exercício: Efetue as seguintes operações:

1. A=(5-4i).(7-3i)

2. B=(7-2i)²-2i(5-i)

3. C=(1+i/5).(-8/3+6i)

4. D=(1+i3)³

O conjugado de um número complexo

O conjugado de um número complexo z=a+bi é definido como o número complexo =a-bi.

Propriedades gerais do conjugado:

1. O conjugado do conjugado de z é igual a z.

2. O conjugado da soma de dois números complexos é igual à soma dos conjugados desses números.

3. O conjugado do produto de dois números complexos é igual ao produto dos conjugados desses números.

4. Se z for um número real, o conjugado de z é o próprio z.

5. Re(z)=[z+]/2 e Im(z)=[z-]/2

As demonstrações devem ser realizadas pelo interessado.

Exercícios: Obter o conjugado de cada um dos números complexos:

1. z=2i²-(5-i)

2. w=(3-2i)-(1+i)(1-i)i

Divisão de números complexos

Sejam os números complexos z=a+bi e w=c+di. Definimos a divisão entre z e w, como

Muitas vezes usaremos a notação mais simples z/w para representar a divisão de z por w.

Exercício: Escreva na forma z=a+bi, cada uma das expressões abaixo:

1. z=1/i

2. z=(9-7i)/(1-5i)

3. z=(1+i)/(1-i)

4. z=1/(5+2i)

5. z=(i/1+i)⁵

6. z=(-2+3i)/(1+i2)

Valor absoluto de um número complexo

O módulo ou valor absoluto de um número complexo z=a+bi é definido com sendo o número real não negativo

Propriedades gerais do Valor absoluto: Se z e w são números complexos, então:

1. |z| = |-z| = ||

2. |z| > 0

3. |z| = 0 se, e somente se, z=0

4. |z.w| = |z|.|w|

5. |z/w|= |z|/|w| se w # 0

6. z. = |z|²

7. |z+w| < |z|+|w|, (des.triangular)

8. |z-w| < |z|+|w|, (des.triangular)

9. |z|-|w| < |z-w|, (des.triangular)

10. |Re(z)| < |z|

11. |Im(z)| < |z|

Exercício: Determinar o valor da expressão z=|3u-4v| sabendo-se que u=2+i e v=3-2i.

O plano complexo

Podemos interpretar os números complexos como sendo pontos do plano cartesiano. Um número complexo z=a+bi pode ser representado pelo par ordenado (a,b) de números reais, portanto corresponde a um ponto P do plano cartesiano R² com coordenadas a e b.

Exemplos

1. z=2+2i é representado pelo ponto (2,2)

2. z=-2+2i é representado pelo ponto (-2,2)

3. z=3-2i é representado pelo ponto (3,-2)

4. z=-2-3i é representado pelo ponto (-2,-3)

Estes números estão representados no gráfico:

Interpretação vetorial dos números complexos

Um número complexo z=a+bi pode ser considerado como um vetor OP onde a origem deste vetor é a origem do plano cartesiano O=(0,0) e a extremidade é o ponto P=(a,b), desse modo o vetor tem coordenadas a e b.

As regras do paralelogramo para a soma e subtração de vetores também se aplicam para soma e subtração de números complexos.

Exercícios:

1. Efetuar as operações indicadas analítica e graficamente.

   (a) z=(2+4i)+(3+2i)
   (b) w=(3-2i)-(3+4i)
   

2. Se u e v são números complexos, construa graficamente os números complexos z e w abaixo:

   (a) z=3u-3v
   (b) w=v/2+u/3
   

Forma polar dos números complexos

Dado um número complexo não nulo z=a+bi, considere sua representação geométrica.

O argumento de z é o ângulo t formado entre o vetor OZ e o eixo OX e o módulo de z é a distância entre o número z e a origem do sistema cartesiano. Logo:

a= rcos(t)    e    b = r sen(t)

onde r=|z|=(a²+b²)^1/2 e podemos escrever:

z = a+bi = r[cos(t) + i sen(t)]

Esta é a representação polar do número complexo z, onde r e t são suas coordenadas polares.

Também são usuais as notações

r cis(t) = r[cos(t)+isen(t)] =r

Exercício: Para cada número complexo apresentado, escreva a sua forma polar e represente este número geometricamente.

1. z=2+2i3

2. z=-6-i2

3. z=1+i

4. z=-1-i(3)

5. z=(-i/1-i)⁵

6. z=(-5/3-i)

Fórmula de De Moivre

Sejam z₁ e z₂ números complexos, tal que z₁=r₁[cos(t₁)+i.sen(t₁)] e z₂=r₂[cos(t₂)+i. sen(t₂)]. Multiplicando estes números complexos, obtemos:

Concluímos que para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, basta multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos.

z₁ z₂ = r₁ r₂ [cos(t₁+t₂) + i sen(t₁+t₂)]

Vale um resultado análogo para a divisão de números complexos:

Para dividir dois números complexos na forma trigonométrica devemos realizar o quociente de seus módulos e a diferença dos seus argumentos.

Se z_j=r_j[cos(t_j)+isen(t_j)], para j=1,2,...,n, então, temos uma generalização do fato acima:

z₁.z₂...z_n = r₁ r₂ ··· r_n[cos(t₁+t₂ +··· +t_n)+isen(t₁+t₂ +··· +t_n)]

Se z₁=z₂=...=z_n e r=1, temos a Fórmula de De Moivre:

[cos(t) + i sen(t)]ⁿ = cos(nt) + i sen(nt)

Exercício: Demonstrar as seguintes identidades trigonométricas:

1. sen(3t)=3 sen(t)-4 sin³(t)

2. cos(3t)=4 cos³(t)-3cos(t)

Exercício: Efetuar cada uma das operações indicadas:

1. z₁=[4(cos(40º)+isen(40º)].[5(cos(80º)+isen(80º)]

2. z₂=[5.cis(20º)][3.cis(40º)]

3. z₃=[2.cis(50º)]⁶

4. z₄=[8.cis(40º)]³÷[2.cis(60º)]⁴

Raízes n-ésimas de números complexos

Um número complexo p é um zero (ou raiz) de uma função complexa f(z)=0 se f(p)=0. Um número w é uma raiz n-ésima de um número complexo z, se wⁿ=z. A raiz n-ésima pode ser denotada por:

w==z^1/n

Consideremos os números complexos z e w na forma polar:

z = r [cos(t) + i sen(t)] 
w = R [cos(u) + i sen(u)]

Se wⁿ=z, então usando a fórmula de De Moivre, obtemos:

Rⁿ [cos(nu) + i sen(nu)] = r [cos(t) + isen(t)]

Igualando as partes reais e as partes imaginárias, teremos

Rⁿ cos(nu) = r cos(t)
Rⁿ sen(nu) = r sen(t)

Dessa forma, para todo k inteiro não negativo, temos

Rⁿ = r
nu = t + 2k

Assim, w_k indicará a k-ésima raiz por:

Se k>n, as raízes se repetem e basta tomar k=0,1,...,n-1 para esta fórmula produzir n raízes distintas do número complexo z.

Exemplo 1: As raízes cúbicas de 8i podem ser obtidas da seguinte forma. Se z=0+8i, então |z|=8 e t=/2. Logo:

r^1/3 = 8^1/3 = 2

Os argumentos são

t₀=(t+0)/3=/6, t₁=(t+2)/3=5/6, t₂=(t+4)/3=3/2

Assim, as raízes cúbicas de 8i são:

w₀=2[cos(1/6) + i.sen(1/6)]=+i,
w₁=2[cos(5/6) + i.sen(5/6)]=-+i,
w₂=2[cos(3/2) + i.sen(3/2)] = -2i

As n raízes de um número complexo z pertencem a uma circunferência com o centro na origem e raio igual a |z|^1/n, esses números dividem esta circunferência em n partes iguais.

As raízes cúbicas de 8i estão representadas na figura.

Exemplo 2: Para resolver a equação complexa z⁶-1=0, basta obter as 6 raízes complexas da unidade, ou seja, obter w tal que w⁶=1. Basta então obter w=1^1/6=1. Tomaremos z=1, r=1, t=arg(1)=0 e r^1/6=1^1/6=1. Os argumentos das raízes são:

t₀=t/6=0, t₁=1/3, t₂=2/3, t₃=3/3, t₄=4/3, t₅=5/3

Portanto, as raízes de z⁶=1, são:

w0	=	cos(0/3) + i sen(0/3)	=	1
w1	=	cos(1/3) + i sen(1/3)	=	1/2 +i 3/2
w2	=	cos(2/3) + i sen(2/3)	=	-1/2 + i 3/2
w3	=	cos(3/3) + i sen(3/3)	=	-1
w4	=	cos(4/3) + i sen(4/3)	=	-1/2 - i 3/2
w5	=	cos(5/3) + i sen(5/3)	=	1/2 - i 3/2

As raízes de z⁶=1 estão representadas na figura abaixo.

Exercício: Obter as raízes das equações abaixo no conjunto dos números complexos e construir os gráficos correspondentes.

1. z^1/4=1

2. z^1/4=-1

3. z³=-1

4. z³=3

5. z²+z+1=0

6. z³-i=0

7. z³+27i=0

8. z²+(2i-3)z+5-i=0

9. (1+3i)z²+4=0

Fórmula de Euler

Consideremos os desenvolvimentos em séries de potências das funções reais: exponencial, cosseno e seno.

exp(x)=ex	=		xn n!	=	1 + x +	x² 2!	+	x³ 3!	+	x4 4!	+	x5 5!	+...

cos(x)	=		(-1)nx2n (2n)!	=	1 -	x² 2!	+	x4 4!	-	x6 6!	+...

sen(x)	=		(-1)nx(2n+1) (2n+1)!	=	x -	x³ 3!	+	x5 5!	-	x7 7!	+...

Estudamos no curso de Cálculo de funções reais, que estas fórmulas são válidas para todo x real. Vamos admitir (de modo prematuro) que o desenvolvimento em série de potências de exp(x)=e^x também seja válido para números complexos, isto é, que seja possível realizar o mesmo desenvolvimento para exp(z)=e^z, mas tomaremos um caso particular em que a parte real do número complexo seja nula.

Assim, tomando z=0+iy=iy com y real, poderemos escrever:

Um estudo mais detalhado sobre séries absolutamente convergentes será realizado em um capítulo posterior. Tendo em vista que uma série absolutamente convergente, permite rearranjar os termos da série, separaremos a parte real desta série de sua parte imaginária.

Comparando com as séries de potências das funções cosseno e seno, temos:

e^iy = cos(y) + i sen(y)

A função exponencial complexa

Baseado no que foi discutido acima, definimos a função exponencial de um número complexo z=x+iy, como:

exp(z) = e^z = e^x+iy = e^xe^iy = e^x[cos(y)+i.sen(y)]

Propriedades da exponencial complexa: Quaisquer que sejam os números complexos z e w, valem as seguintes propriedades:

1. e^z.e^w=e^z+w

2. e^-z=1/e^z

3. [e^z]ⁿ=e^nz (n inteiro)

4. e^z#0

5. |e^z|=e^Re(z)

6. e^z=1 se, e somente se, z=2ki, onde k é um número inteiro.

Notação compacta de um número complexo: A partir da definição de exponencial de um número complexo z, podemos escrevê-lo na forma polar com a notação compacta z=r.e^i.t, onde r=|z| e t é o argumento de z.

Exemplo: O número complexo z=-1+i3 tem módulo |z|=2 e argumento t=2/3, logo z=2e^2i/3.

Observação: Existe uma conexão entre a exponencial, o cosseno e o seno:

cos(t)=[e^it+e^-it]/2   e   sen(t)=[e^it-e^-it]/(2i)

Exercícios: Escrever cada um dos números complexos na forma z=r.e^it.

1. z=2-2i

2. z=22+22i

3. z=-i

4. z=-1-i3

5. z=-5

6. z=-3-4i

	Construída por Sonia F.L.Toffoli.