Derivada implícita com exemplos numéricos

Antes de introduzir uma regra geral que permite obter os extremos de uma função definida por F(x,y)=0 de uma forma implícita, apresentaremos dois exemplos numéricos com funções conhecidas.

Exemplo: Consideremos a curva conhecida como Folium de Descartes, definida de forma implícita por:

F(x,y) = x³ + y³ - 3axy = 0 (a>0)

Problema: Obter o ponto da curva que está a maior distância do eixo horizontal (altura máxima).

Para resolver este problema, devemos obter o ponto de máximo de y=y(x) e a dificuldade é obter de forma explícita y=y(x). Embora exista a fórmula de Tartaglia-Cardano para resolver o problema, a expressão desta função y=y(x) é muito complicada. Existem outras situações que nem mesmo é possível explicitar y=y(x). Para contornar estes problemas, usaremos a derivação da função definida implicitamente pela curva:

x³ + y³ - 3axy = 0

Para realizar a derivação implícita, subentendemos que existe y=y(x) de modo que ao substituir y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é:

3 x² + 3 y²(x) y'(x) - 3a [x y'(x) + y(x)] = 0

Simplificando, obtemos

(y² - ax) y'(x) = ay - x²

Desta relação, já temos a derivada y'=y'(x):

Os pontos críticos x_o são aqueles nos quais a primeira derivada se anula, isto é, y'(x_o)=0. Assim, existe uma solução trivial P=(0,0), mas é fácil perceber que este ponto pertence à curva dada. Para obter outros pontos críticos, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações:

ay - x² = 0
x³ + y³ -3axy = 0

Este sistema fornece o ponto crítico Q=(x_o,y_o), dado por:

x_o=a 2^1/3  e  y_o=a 2^4/3

Para evitar as frações, usaremos a expressão:

(y² - ax) y '(x) = ay - x²

Realizando a derivada implícita desta última relação, obtemos:

 y'' (y²-ax) + y' (2.y.y' -a) = a.y'-2x

Tomando esta relação no ponto x=x_o e levando em consideração que y'(x_o)=0, a expressão fica bem simples:

 y''(x_o) (y_o²-ax_o) = -2x_o

Substituindo os valores de x_o e y_o,obtemos:

 y''(x_o) = -2/a < 0

Logo, x_o=a.2^1/3 é um ponto de máximo e y_o=a.4^1/3 é o valor máximo de y=y(x).

Exemplo: Consideremos a elipse rodada em relação aos eixos normais, definida implicitamente por

F(x,y) = x² + xy + y² - 3 = 0

Nosso objetivo é obter os extremos desta curva no plano cartesiano. Aqui existe também a dificuldade em explicitar y=y(x). A fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara) resolve o problema mas a expressão de y=y(x) fica complicada. Obteremos as duas primeiras derivadas de y=y(x), usando o processo de derivação implícita.

Para realizar a primeira derivada implícita, vamos subentender que existe y=y(x) de modo que substituindo y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é:

2x + x.y' + y + 2y.y' = 0

Simplificando, obtemos

(x +2y) y' = -(y+2x)

Desta relação, temos a derivada:

Os pontos críticos x_o são os que anulam a primeira derivada, isto é, y '(xo)=0. Dessa forma, a solução depende do fato que y+2x=0. Como sabemos que este ponto pertence à elipse dada, basta resolver o sistema:

 y + 2x = 0
x²+xy+y² =3

Este sistema fornece os pontos P=(-1,2) e Q=(1,-2).

Para obter a segunda derivada implícita, usaremos a expressão

(x +2y) y' = -(y+2x)

Realizando a derivada implícita desta relação, obtemos:

y''(x) (x+2y) + y'(x) (1+2y') = -y'(x)-2

Tomando esta relação em qualquer dos dois pontos críticos, obtemos:

O ponto P=(-1,2) é ponto de máximo, pois

y''(-1) = - 2/3 < 0

O ponto Q=(1,-2) é ponto de mínimo, pois

y''(1) = 2/3 > 0

Regra geral com derivada implícita

Seja uma função definida implicitamente por F(x,y)=0. Como nem sempre é possível explicitar y=y(x) tal que

F(x,y(x))=0

utilizaremos derivadas parciais de F em relação a x e de F em relação a y, denotadas respectivamente por F_x e F_y, para realizar a derivada implícita da função para obter:

F_x(x,y(x)) + F_y(x,y(x)) . y'(x) = 0

Esta última relação pode ser simplificada na forma:

F_x + F_y . y' = 0

donde segue que

Usando a relação F_x+F_y.y'=0, podemos realizar mais uma derivada implícita, para obter:

F_xx+F_xy.y'+F_y.y''+F_y.(y')²=0

Como nos pontos críticos P=(x_o,y_o), temos que y'(x_o)=0, então:

F_xx(P)+F_y(P).y''(x_o)=0

e assim temos que

Conclusão: Seja P=(x_o,y_o) um ponto crítico para y=y(x) que subentende a forma explícita da função F(x,y)=0, isto é, y'(x_o)=0.

1. Se F_y(P) e F_xx(P) tiverem o mesmo sinal, P será ponto de máximo para função F(x,y)=0.

2. Se F_y(P) e F_xx(P) tiverem sinais diferentes, P será ponto de mínimo para função F(x,y)=0.

	Construída por Ulysses Sodré.