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Ensino Superior: Cálculo: Máximos e Mínimos: Aplicações geométricas

A notação R[x] representa a função raiz quadrada de x>0.


  1. Dentre todos os retângulos que estão inscritos em um círculo de raio r, determinar aquele que tem a área máxima.

    Solução: Construímos um retângulo genérico com comprimento 2x e largura 2y. Assim, a área será A(x,y)=4xy. Acontece que o ponto (x,y) pertence à circunferência x²+y²=r² e podemos extrair o valor de y nesta relação e obter a função não negativa:

    A(x)=4x.R[r²-x²]

    A primeira derivada desta função nos dá

    A'(x)= 4r²-8x²
    R[r²-x²]

  2. Dentre todos os retângulos que estão inscritos em um círculo de raio r, determinar aquele que tem o perímetro mínimo.

    Solução: A idéia é construir um retângulo genérico com comprimento 2x e largura 2y. Assim, o perímetro p(x,y)=2(x+y). O ponto (x,y) pertence à circunferência x²+y²=r² e podemos extrair o valor de y nesta relação para obter a função não negativa

    p(x) = 2x + 2R[r²-x²]

    A primeira derivada desta função nos dá

    p'(x)=2- 2x
    R[r²-x²]

    x=-r.R[2]/2 e x=r.R[2]/2 são pontos críticos para p=p(x), mas somente o segundo ponto tem sentido, tendo em vista que a medida para x deve ser positiva e o valor mínimo para o perímetro é p(r.R[2]/2)=2r.R[2].


  3. Seja um triângulo isósceles com base 2B e altura H dadas. Quais são as dimensões de um retângulo de maior área possível, tendo altura h e lado medindo 2r apoiado sobre a base do triângulo e o outro lado paralelo, com os vértices localizados nos lados de mesma medida do triângulo?

    Solução: Devemos montar uma proporção B/H=(B-r)/h, para obter A(r,h)=2rh, que pode ser escrita como A(r,h)=2r(B-r)H/B). Esta função depende agora, apenas da variável r e a sua derivada em relação a r, será:

    A'(r)=2(R-2r)H/B)

    O ponto crítico é r=B/2 e como A"(r)=-4H/B<0, segue que o ponto r=B/2 é um ponto de máximo para A=A(r).


  4. Seja um cone circular reto de raio da base B e altura H. Quais são as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito nesse cone?

    Solução: Devemos olhar a estrutura espacial de longe e observar que o cone é semelhante a um triângulo isósceles e que o cilindro é semelhante a um retângulo e este problema espacial se converte em um problema no plano, exatamente igual ao anterior.


  5. Dentre todos os triângulos retângulos com a mesma hipotenusa fixada 2a, qual é o que tem maior perímetro?

    Dica: Considere um semi-círculo de diâmetro 2a e trace um triângulo retângulo com a hipotenusa apoiada sobre o diâmetro do semi-círculo. Devemos obter a posição do ponto (x,y) que pertence à circunferência de raio a, logo, x²+y²=a², tal que os catetos sejam dados por b=R[(a+x)²+y²] e c=R[(a-x)²+y²]. A função para o perímetro será dada por

    p(x,y) = a + R[(a+x)²+y²] + R[(a-x)²+y²]


  6. Dentre todos os triângulos retângulos com o mesmo perímetro 2p, qual é o que tem a área máxima?

    Dica: Tome x e y para os catetos e z=R[x²+y²] para a hipotenusa. O perímetro como 2p=x+y+z. Substituindo z=2p-x-y na primeira relação, obtemos uma relação que depende apenas de x e y. Como a área é dada por A=xy/2 e sabemos que:

    y= 2p(x-p)
    x-2p

    então, substituindo y nesta função, teremos uma função da variável x:

    A(x)= px(x-p)
    x-2p

    Os pontos críticos de A são x1=(2+R[2])p e x2=(2-R[2])p. Constate que x1 não serve mas que x2 é a resposta para a questão.


  7. Dentre todos os triângulos retângulos com a mesmo área A, qual é o que tem o menor perímetro?

    Dica: Considere as medidas x e y para os catetos, z=R[x²+y²] para a hipotenusa. A área será A=xy/2 e o perímetro p(x,y,z)=x+y+z. Obtenha o valor de y na primeira relação e substitua nas outras para obter a função da variável x:

    p(x) = x +2A/x + R[x² +4A²/x²]


  8. Dentre todos os triângulos com a mesma base b e mesmo perímetro 2p, qual é o que tem a área máxima?

    Dica: Tome um triângulo com a base b e identifique com x e y os outros lados. O perímetro será 2p=b+x+y e a área é dada pela fórmula de Heron:

    A(x,y) = R[p(p-b)(p-x)(p-y)

    Extraia o valor de y, substitua nesta última fórmula, determine os pontos críticos de A=A(x) e constate que o triângulo deve ser isósceles.


  9. Dentre todos os triângulos isósceles cujos lados iguais medem b unidades, qual é o que tem a área máxima?

    Dica: A área de um triângulo é A=(1/2)p.qsen(x), onde p e q são os lados adjacentes que formam um ângulo x. Em nosso caso:

    A(x)=½ b² sin(x)


  10. Qual é o trapézio retangular de maior área que pode ser inscrito em um semi-círculo de raio r?

    Dica: Construímos um segmento de reta com extremidades nos pontos (x,y) e (-x,y). Este segmento deve ser paralelo ao segmento contendo o diâmetro do semi-círculo. Aqui, a área do trapézio é dada por A(x,y)=(r+x)y. Como as extremidades do segmento pertencem à circunferência x²+y²=r², basta obter o valor de y nesta relação e substituir na expressão da área para obter:

    A(x) = (r+x) R[r²-x²]

    Conclua que x=r/2 e que o segmento deve medir r unidades.


  11. Quais são as dimensões do triângulo isósceles de menor área que pode ser circunscrito a um círculo de raio r?

    Dica: Tome um triângulo isósceles de base 2x, os lados que têm a mesma medida identificados com a letra z e a altura do triângulo com a letra y. A área será dada por A(x,y)=xy. Usar a semelhança de triângulos para mostrar que z=ry/x e na sequência eleve todos os membros dessa razão ao quadrado para obter z²=r²y²/x². Use esta última relação para mostrar que existe uma relação apenas com x e y, dada por:

    = r² y
    y-2r

    Substitua o valor de y na função de área e mostre que o valor procurado é x=r R[3].

    Também podemos mostrar que o ponto de mínimo para a área, coincide com o ponto de mínimo para o quadrado da área, isto é, basta mostrar que a função A²=A²(x) tem um mínimo no mesmo ponto citado antes.


  12. Dentre todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é igual a S, qual deles é o que tem maior volume? Dica: Lembre-se que V=xyz e S=4(x+y+z).


  13. Dentre todos os paralelepípedos retangulares que têm a mesma área total A, qual é o que tem maior volume?. Dica: A=2(xy+xz+yz), V=xyz


  14. Dentre todos os paralelepípedos retangulares que têm o mesmo volume V, qual é o que tem menor área? Dica: A=2(xy+xz+yz), V=xyz


  15. Qual é o paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio dado r?

    Dica: Construa um paralelepípedo retangular com medidas 2x, 2y e 2z. Mostre que x²+y²+z²=4r² e use o fato que V=8xyz. Eleve ao cubo a função V para obter L(x,y,z)=512x² y²z². Substitua x²=u, y²=v e z²=w e você terá que obter o máximo de L(u,v,w)=512uvw sujeito a u+v+w=4r². Dessa forma, você poderá usar a desigualdade das médias.


  16. Qual é o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio a?

    Dica: Construa geometricamente um cone de altura h e raio da base r. Mostre que (h-R)²+r²=a². A seguir, use V=(1/3).pi.r²h e extraia o valor de r na primeira relação, substitua na função para obter

    V(h) = (2a h²-h³)/3

    Mostre que o raio procurado é r=2a/3 R[2].


  17. Qual é o cilindro circular reto de maior área lateral que pode ser inscrito em uma esfera de raio a?

    Dica: Construa um cilindro de raio r e altura 2h inscrito na esfera. A área lateral será dada por A=4.pi.rh. Obtenha a relação r²+h²=a². Trabalhe um pouco para obter a função

    A(h) = 4 pi h R[a²-h²]


  18. Qual é o cilindro circular reto de maior área total que pode ser inscrito em uma esfera de raio a?

    Dica: Construa um cilindro de raio r e altura 2h inscrito na esfera. A área total será dada por A=2.pi.r(r+2h). Obtenha a relação r²+h²=a². Trabalhe um pouco para obter uma função da variável h.


  19. Qual é cone circular reto de menor volume que pode circunscrever uma esfera de raio r?

    Dica: Construir a esfera de raio r e um cone com altura h+r, tome z como a geratriz e a o raio da base do cone. Use a semelhança de triângulos, para mostrar que R/z=r/h-r e z²=a²+h². O volume do cone é dado por V=(1/3).pi.a²h


  20. Qual é o retângulo de maior área que pode ser inscrito em um quadrado cujo lado mede a unidades?

    Dica: Construa um retângulo inscrito em um quadrado, de acordo com a figura, em anexo. Ao invés de obter o máximo da área A(z,w)=z.w, calcule o máximo do quadrado da área, pois é mais eficiente e prático. A função será:

    f(x,y) = [(a-x)² + y²].[x² + (a-y)²]

    Por semelhança de triângulos, obtemos (a-y)/x=(a-x)/y e esta relação identifica que y=a ou que y=x. Se y=a, temos o próprio quadrado original que é o quadrado de maior área que existe dentro dele próprio.


  21. Qual é o retângulo de menor área que pode ser inscrito em um quadrado cujo lado mede a unidades?

    Dica: Seguimos a mesma análise que o exercício anterior, mas consideramos y=x, que nos garante que

    f(x) = x²+(a-x)²

    Esta função possui ponto de mínimo em x=a/2.


  22. Qual é o triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio r unidades?

    Dica: Inscrevemos um triângulo isósceles de altura h e base 2b. Assim, b²=2rh-h². Ao invés de obter o máximo da área, dada aqui por A=b.h, obteremos o máximo do quadrado da área, para obter uma função de apenas uma variável:

    f(h) = b² h² = (2rh-h²)h²

    A altura desejada para o máximo é h=3r/2.


  23. Dentre todos os triângulos retângulos com o mesmo perímetro p, qual é o que tem a menor hipotenusa?

    Dica: Se a hipotenusa é z e os catetos x e y, então z²=x²+y² e x+y+z=p. É facil ver que

    z= x²-px+½p²
    p-x

    O ponto de mínimo é x=(1-R[2]/2)p.


  24. Dentre todos os triângulos retângulos cuja hipotenusa mede a, qual é o que tem a área máxima?

    Dica: Se a hipotenusa é a e os catetos x e y, então a²=x²+y². A área é dada por A(x,y)=xy/2. Calcularemos o máximo para o quadrado da área, que é:

    f(x,y) = (1/4)x² y²

    ou seja

    f(x) = (1/4)x²(a²-x²)

    O ponto de máximo é x=a R[2]/2.


  25. Se a>0 e b>0, qual é o retângulo de área máxima que pode ser inscrito na região envolvida pela curva elíptica (x/a)²+(y/b)²=1?

    Dica: Construir uma elipse canônica e procurar o par ordenado (x,y) que pertence a esta curva. A área será A(x,y)=4xy. É bastante prático obter o máximo para o quadrado da área, que neste caso, será dado por:

    f(x,y)= 16x²y² = 16b²x²(a²-x²)

    O máximo no primeiro quadrante está em x=aR[2]/2.


  26. Qual é o retângulo de maior área que pode ser inscrito na região limitada pelos gráficos das quatro funções exponenciais: y=ex, y=e-x, y=-ex e y=-e-x. Dica: x=1 é o ponto de máximo.


  27. Qual é o retângulo de área máxima que pode ser construído, tendo os vértices na região limitada pelas curvas y=x(a²-x²) e y=x(x²-a²). Dica: O máximo no 1o. quadrante está em x=aR[2]/2.


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