A notação R[x] representa a função raiz quadrada de x>0.

1. Determinar números positivos x e y, cujo produto seja igual a 12 mas cuja soma seja a menor possível.

   Solução: Considere x.y=12 e S(x,y)=x+y. Substitua o valor de y na função S=S(x,y), para ter apenas uma variável na função, dada por:

   S(x) = x + 12/x

   sobre o intervalo [1,12] e a sua derivada é dada por:

   S'(x)=(x² - 12)/x²

   Os pontos críticos são x=2.R[3] em [1,12] e x=-2.R[3]. Este último, não serve aos nossos propósitos. O valor mínimo de S é S(2.R[3]) = 4.R[3].

   
   

2. Determinar números positivos x e y, cujo produto seja igual a P mas cuja soma seja a menor possível.

   Dica: Repetir o exercício anterior com P no lugar de 12.

   
   

3. Determinar números inteiros não negativos x e y, cujo produto seja máximo mas cuja soma seja igual a 12.

   Solução: x+y=12, P(x)=x.y= x(12-x)=12x-x²

   Usando um processo simples, podemos decompor o número 12, em:

   0+12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6=7+5=8+4=9+3=10+2=11+1=12+0=12

   P=P(x)=x(12-x) representa uma parábola que passa pelos pontos (0,0), (12,0) e (6,36) e tem a concavidade (boca) voltada para baixo.

   P(0)=P(12)=0, P(1)=P(11)=11, P(2)=P(10)=20,
   P(3)=P(9)=27, P(4)=P(8)=32, P(5)=P(7)=35

   P(6)=36 é o valor máximo para o produto e x=y=6 é a resposta procurada.

   Derivando P(x)=12x-x² obtemos P '(x)=12-2x. O ponto crítico é x=6, P"(6)=-2<0, logo, P(6)=36 é o valor máximo para o produto P.

   
   

4. Determinar números inteiros não negativos x e y, cujo produto seja máximo mas cuja soma seja igual a S.

   Dica: Repetir o exercício anterior com S no lugar de 12.

   
   

5. Se x, y e z são três números reais positivos, mostrar que a média harmônica é dominada pela média geométrica, que por sua vez é dominada pela média aritmética, isto é:

   

   
   

6. Se x₁, x₂, ...,x_n são n números reais positivos, mostrar que:

   

   
   

	Construída por Ulysses Sodré.