Matemática Essencial:  Alegria  Financeira  Fundamental  Médio  Geometria  Trigonometria  Superior  Cálculos
Ensino Superior: Cálculo: Máximos e Mínimos: Conceitos básicos

Vizinhança de um ponto

Uma vizinhança aberta de um ponto x=c é um intervalo aberto da forma Vc=(c-r1,c+r2) onde r1>0 e r2>0 são números reais pequenos. Uma boa forma para construir uma vizinhança aberta para um ponto x=c, é construir um intervalo simétrico centrado em x=c e com raio r, denotado por Vc=(c-r,c+r) onde r>0 é pequeno, dependendo da forma como as distâncias são medidas. A distância entre os números reais x e y será tomada aqui como d(x,y)=|x-y|.

Em estudos mais aprofundados, existem muitas outras formas de medir distâncias, mas aqui iremos considerar a forma citada acima.


Exemplo: Os intervalos A=(-0.2,0.1) e B=(-0.1,0.1) são vizinhanças abertas de x=0, mas C=(0,0.1) não é uma vizinhança aberta de x=0 pois 0 não pertence a C.


Ponto interior e o interior de um conjunto

Ponto interior de um conjunto: Um ponto x=c é denominado ponto interior de um conjunto S, se existe uma vizinhança aberta do ponto x=c, inteiramente contida no conjunto S.

Exemplo: x=5 é um ponto interior dos conjuntos: A=[0,10) e B=(-6,8), mas não é ponto interior do conjunto C=[5,7) pois é uma extremidade de C.


Interior de um conjunto: O interior de um conjunto S é a coleção de todos os pontos de S para os quais podemos construir vizinhanças abertas contidas inteiramente no conjunto S.

Exemplo: (a,b) é o interior dos conjuntos [a,b], [a,b), (a,b] e de (a,b).


Máximo (global) de uma função

Seja f uma função definida sobre um conjunto S. O valor máximo (máximo global) para f sobre o conjunto S, é um número real M, denotado por

M = max { f(x): x em S }

Isto é, para todo x em S, temos que f(x) < M e além disso, existe um ponto c em S tal que f(c)=M. O ponto x=c é o ponto de máximo (global) e M é o valor máximo para f sobre o conjunto S.


Exemplo:A parábola definida por f(x)=1-x² sobre o intervalo S=[-1,1], possui um ponto de máximo global em x=0 e o valor máximo de f sobre S é f(0)=1.


Máximo local (relativo) de uma função

Seja f uma função definida sobre um conjunto S. Uma função f possui um ponto de máximo local (relativo) sobre o conjunto S, se existe um ponto c em S, existe uma vizinhança aberta Vc contida em S e existe um número real Mc tal que

Mc = max { f(x): x em Vc}

Isto significa que, para todo x na vizinhança Vc, temos que f(x)<Mc. Um máximo local para uma função f definida sobre um conjunto S, poderá ser também um máximo global para f sobre S. Dentre todos os pontos de máximo local, um ou mais, poderão ser pontos de máximo (global).


Exemplo: A função parabólica definida por f(x)=x² sobre o intervalo [-1,2], possui dois pontos de máximo local, que ocorrem quando x=-1 e x=2, mas o ponto em que x=2 é um ponto de máximo para f.


Mínimo (global) de uma função

Seja f uma função definida sobre um conjunto S. O valor mínimo (mínimo global) para f sobre o conjunto S, é um número real m, denotado por

m = min { f(x): x em S }

significando que, para todo x em S, temos que m < f(x) e além disso, existe um ponto d em S tal que f(d)=m. O ponto x=d é ponto de mínimo (global) e m é o valor mínimo para f sobre o conjunto S.


Exemplo: A função real definida por f(x)=1-x² sobre o intervalo fechado S=[-1,1] possui dois pontos de mínimo global, que ocorrem em x=-1 e x=1 e o valor mínimo global de f sobre S é f(-1)=f(1)=0.


Mínimo local (relativo) de uma função

Seja f uma função definida sobre um conjunto S. Uma função f possui um ponto de mínimo local (relativo) sobre o conjunto S, se existe um ponto d em S, existe uma vizinhança aberta Vd contida em S e existe um número real md tal que

md = min { f(x): x em Vd }

Para todo x na vizinhança Vd, temos que f(x)>md. Um mínimo local para uma função f definida sobre um conjunto S, poderá ser também um mínimo global para f sobre S. Dentre os pontos de mínimo local, um ou mais, poderão ser pontos de mínimo.


Exemplo: f(x)=1-x², definida sobre [-1,2] possui dois pontos de mínimo local, em x=-1 e x=2, mas o ponto cuja abscisa é x=2, é também um ponto de mínimo global para f.


Valores extremos

Os valores máximo e mínimo de uma função, são denominados extremos da função e os pontos de máximo e de mínimo da função, são denominados pontos de extremos da função.


Exemplo: Seja uma função f=f(x), cujo gráfico está apresentado na figura. Os valores extremos são f(a), f(b), f(c), f(d) e f(e). Os pontos extremos são os pares ordenados (a,f(a)), (b,f(b)), (c,f(c)), (d,f(d)) e (e,f(e)).


Observações gerais sobre máximos e mínimos

  1. Uma função poderá ter vários pontos de máximo e vários pontos de mínimo sobre o seu domínio, como é o caso de f(x)=sen(x) definida sobre [-4,4].


  2. Uma função poderá não ter pontos de máximo nem pontos de mínimo sobre o seu domínio. Um exemplo, é a função identidade f(x)=x definida sobre (-1,2). Os extremos só poderiam ocorrer nas extremidades do intervalo (-1,2), x=-1 ou x=2, mas tais pontos não pertencem ao domínio de f.


  3. Uma função poderá ter infinitos pontos de máximo e também infinitos pontos de mínimo sobre o seu domínio. Por exemplo, f(x)=3 definida sobre o intervalo [-1,1]. Outro exemplo é a função f(x)=cos(x) definida sobre toda a reta real.


  4. Não confundir extremo da função com extremidade do intervalo de definição da função.



Valid XHTML 1.0! Construída por Ulysses Sodré.