Introdução às Transformadas de Laplace

Oliver Heaviside, ao estudar processos simples para obter soluções de Equações Diferenciais, vislumbrou um método de Cálculo Operacional que nos leva às Transformadas de Laplace, que é um método simples que serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais (PVI: Problema com Valores Iniciais) em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral da Equação Diferencial através de integrais e derivadas.

Como este processo é útil em Matemática, Computação, Engenharias, Física e outras ciências aplicadas, o método se torna importante neste contexto. As transformadas de Laplace são muito usadas em diversas situações, porém aqui trataremos de suas aplicações na resolução de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares.

Transformada de Laplace

Se f=f(t) é uma função definida para todo t>0 e s é um parâmetro real positivo tal que a integral imprópria

F(s)=	o	e-st f(t) dt

converge para algum valor finito de s e para todos os valores maiores do que s, então F(s) é chamada a Transformada de Laplace da função f=f(t).

Observação: A transformada de Laplace depende de s e é representada por uma letra maiúscula F, enquanto que a função original que sofreu a transformação depende de t e é representada por uma letra minúscula f. É muito comum usar a letra L e a notação abaixo para representar a transformada de Laplace da função f:

L[f(t)] = F(s)

Exemplos: Demonstra-se que:

1. L[1]=1/s, (s>0)

2. L[t]=1/s², (s>0)

3. L[exp(at)]=1/(s-a), (s>a)

4. L[sen(kt)]=k/(s²+k²)

5. L[cos(kt)]=s/(s²+k²)

Exercícios: Calcular as transformadas de Laplace das funções:

1. f(t)=senh(kt)

2. f(t)=cosh(kt)

3. f(t)=t.exp(-at)

4. f(t)=exp(at).cos(bt)

5. f(t)=t²

Sugestão: Considerar que para todo z complexo, vale a relação de Euler:

exp(iz) = e^iz = cos(z) + i sen(z)

Funções seccionalmente contínuas

Uma função f=f(t) é seccionalmente contínua sobre um intervalo real [a,b] fechado e limitado, se ela é contínua no interior de um número finito de subintervalos de [a,b], exceto possivelmente em um conjunto finito de pontos {t₁,t₂,...,t_n}, onde a função f deve ter limites laterais à esquerda e à direita, sendo que a diferença entre esses dois limites laterais em cada ponto t_j (salto de f em t_j) deve sempre ser finita.

Exemplo: Uma função seccionalmente contínua é a função degrau unitário:

Função de ordem (tipo) exponencial

Uma função f=f(t) é de ordem (ou tipo) exponencial em [0,), se existem constantes M>0 e µ real, tal que para todo t>0 se tem:

|f(t)|< M exp(µt)

Exemplos:

1. f(t)=t² é de ordem exponencial pois |f(t)|<2exp(t).

2. f(t)=t².cos(at) é de ordem exponencial pois |f(t)|<2.exp[(1+a)t].

3. f(t)=exp(t^3/2) não é de ordem exponencial.

4. f(t)=tⁿ.exp(at).cos(bt) é de ordem exponencial.

5. g(t)=tⁿ.exp(at).sen(bt) é de ordem exponencial.

Existência da Transformada de Laplace

Se f=f(t) é seccionalmente contínua para todos os intervalos finitos de [0,) e se f=f(t) é de tipo exponencial de ordem a quando t, a Transformada de Laplace F=F(s), definida por:

F(s)=	0	e-st f(t) dt

existe e converge absolutamente para s>a, onde a>0 é um número fixado.

Observação: Neste material, assumiremos que todas as funções f=f(t) utilizadas devem ser de ordem exponencial quando t e seccionalmente contínuas em todo intervalo finito de [0,).

Sobre a transformada inversa de Laplace: A partir de uma função f=f(t) (do tipo citado na observação acima), podemos construir a sua transformada de Laplace F=F(s), assim, dada uma função F=F(s) podemos questionar se existe uma função f=f(t) tal que F(s)=L[f(t)]? Esta função é a transformada inversa de Laplace de F=F(s). Para esta inversa, utilizaremos a notação:

L^-1[F(s)] = f(t)

Na realidade, duas transformadas inversas de Laplace para a mesma função F=F(s) são iguais a menos de uma constante, mas aqui não levaremos isto em consideração tendo em vista que estaremos procurando soluções particulares para cada Equação Diferencial Ordinária Linear.

A transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace funcionam como operadores inversos um do outro, como podemos observar pelos exemplos abaixo:

Se s>0:

L[1]=1/s,   equivale a   L^-1[1/s]=1

Se s>a:

L[exp(at)]=1/(s-a),   equivale a   L^-1[1/(s-a)]=exp(at)

Um modo prático para obter as transformadas inversas de Laplace é pelo uso de tabelas, mas às vezes serão necessárias algumas propriedades para facilitar o cálculo da transformada inversa de Laplace.

Propriedades lineares das Transformadas de Laplace

A Transformada de Laplace é uma transformação linear, isto é, quaisquer que sejam as funções f e g e qualquer que seja o escalar k, valem:

L[f+g] = L[f] + L[g]   e   L[k.f] = k L[f]

Exemplo: L[a+bt+ct²]=a.L[1]+b.L[t]+c.L[t²].

Exercícios: Calcular as transformadas indicadas:

1. L[1+t+t²]=?

2. L[sen(t)+cos(t)]=?

A Transformada inversa de Laplace também é uma transformação linear, isto é:

L^-1[F+G] = L^-1[F] + L^-1[G]   e   L^-1[k.F] = k L^-1[F]

Exemplo: L^-1[(8/s)-16/s²]=8.L^-1[1/s]-16.L^-1[1/s²].

Exercícios: Calcular as transformadas inversas:

1. L^-1[3/(s-a) + 5/(s-b)]

2. L^-1[(2s+5)/(s²-25)]

Tabela e Propriedades das Transformadas de Laplace

Ordem	Propriedade
A	L[f+g] = L[f] + L[g]
B	L-1[F+G] = L-1[F) + L-1[G)
C	L[k f] = k L[f]
D	L-1[kF] = k L-1[F]
E	L[e-atf(t)] = F(s+a)
F	L-1[F(s+a)] = e-at L-1[F(s)]
G	L[-t.f(t)] = F ' (s)
H	L[(-t)k.f(t)] = F(k)(s)
I	F(s).G(s) = L[(f*g)(t)]
J	F(s) s = L[ t 0 f(u) du]
K	L[f(n)] = snF(s) - sn-1f(0) -sn-2f '(0) -sn-3f "(0) -...-f (n-1)(0)
L	L[ f(t) t ] = s F(u) du

Solução de uma Equação Diferencial Ordinária Linear

Pela propriedade K da tabela, temos que:

L[f⁽ⁿ⁾] = sⁿ F(s) -s^n-1 f(0)-s^n-2 f '(0) -s^n-3 f "(0) -...-f^(n-1)(0)

Em particular, tomando n=2 e n=1 e usando f(t) = y(t) e F(s) = Y(s), temos que:

L[y"]=s²Y(s)-s.y(0)-y'(0)
L[y']=s.Y(s)-y(0)

Exemplo: Obteremos a solução do Problema com Valor Inicial com uma EDO linear de 1a. ordem:

y' + y = e^-t,    y(0) = 5

Aplicando a Transformada de Laplace a esta Equação Diferencial Ordinária Linear, obtemos:

L[y'+y]=L[exp(-t)]
L[y']+L[y]=1/(s+1)
s Y(s)-y(0)+Y(s)=1/(s+1)
s Y(s)-5+Y(s)=1/(s+1)
Y(s)(1+s)=1/(s+1)+5
Y(s)=1/(s+1)²+5/(s+1)

Pela tabela, obtemos que: L[t.e^-t]=1/(s+1)² e L[e^-t]=1/(s+1), assim, a solução do PVI é:

y(t) = t.e^-t + 5. e^-t = (t+5).e^-t

Exemplo: Obteremos agora a solução do Problema com Valor Inicial com uma EDO linear de 2a. ordem:

y" - 2 y' - 3 y = 6 e^t,    y(0) = 1,   y'(0) = 3

Aplicando a Transformada de Laplace a esta equação, obtemos:

L[y"-2y'-3y]=L[6 exp(t)]
L[y"]-2L[y']-3 L[y]=L[6 exp(t)]
[s².Y(s)-s-3]-2[s.Y(s)-1]-3Y(s)=6/(s-1)

então:

Y(s)(s²-2s-3)=6/(s-1)+1
Y(s)(s+1)(s-3)=6/(s-1)+1
Y(s)=6/[(s-1)(s+1)(s-3)]+1/[(s+1)(s-3)]

Como esta última função pode ser decomposta pelo método das frações parciais, na forma:

Y(s) = (-3/2)/(s-1) + (3/4)/(s+1) + (7/4)/(s-3)

então, aplicando as transformadas inversas de Laplace através do uso das tabelas, obtemos a solução do PVI:

y(t) = -3/2 e^t + 3/4 e^-t + 7/4 e^3t

Derivadas de Transformadas de Laplace

Seja a Transformada de Laplace:

F(s)=	0	e-st f(t) dt

Derivando ambos os lados desta igualdade em relação à variável s, obtemos:

F'(s)=	0	e-st (-t)f(t) dt

logo

F'(s) = L[(-t).f(t)]

Tomando as derivadas sucessivas de F, obtemos uma fórmula geral:

F⁽ⁿ⁾(s) = L[(-t)ⁿ.f(t)]

Convolução de funções

Sejam f=f(t) e g=g(t) funções integráveis para as quais o produto é também uma função integrável. Definimos a convolução de f e g, (ou produto de convolução), denotada por f¤g, como:

(f¤g)(t)=	t 0	f(t-u) g(u) du

Quando temos uma função f com uma propriedade fraca relacionada com a suavidade e outra função g com propriedade forte relacionada com a suavidade então a convolução f¤g é uma outra função com propriedades melhores que as funções f e g.

Existem muitas outras propriedades e aplicações da convolução, mas é possível demonstrar sem muita dificuldade que valem as seguintes propriedades:

1. Comutatividade: f¤g = g¤f

2. Associatividade: f¤(g¤h) = (f¤g)¤h

3. Distributividade: f¤(g+h) = f¤g + f¤h

4. Nulidade: f¤0 = 0

5. Identidade: f¤ = f,    onde é a distribuição delta de Dirac.

Produto de Transformadas de Laplace

Se F(s) = L[f(t)] e G(s) = L[g(t)], então:

F(s).G(s) = L[(f¤g)(t)]

Muitas vezes denotamos simplesmente:

L[f¤g] = F(s).G(s)

Como um caso particular desta última propriedade, se g(t)=1, então G(s)=1/s (s>0), assim:

(1/s) F(s) = L[(f¤1)(t)]

o que significa que:

F(s) s	= L[	t 0	f(u) du]

Se as transformadas de f=f(t), g=g(t) e h=h(t) são tomadas respectivamente como F=F(s), G=G(s) e H=H(s), e assumindo que G(s)=1/s=H(s) (s>0), obteremos:

F(s) s²	= L[	t 0	u 0	f(v) dv du]

Exercício: Usando o Princípio da Indução Finita (PIF), podemos demonstrar que

L^-1[1/(s-a)ⁿ) = e^at t^n-1/(n-1)!

Solução de uma Equação Integro-diferencial

Seja o PVI dado pela Equação Integro-Diferencial

y' + 2 y - 3	t 0	y(u) du = 5(1+t),   y(0)=2

Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os membros da equação integro-diferencial, obtemos:

L[y'] + 2 L[y] - 3L[	t 0	y(u) du ] = 5 L[1+t]

e assim, temos em sequência:

sY(s)-2+2Y(s)-3(1/s)Y(s)=(5/s)+(5/s²)
Y(s)(s+2-3/s)=(5/s)+(5/s²)+2
Y(s)=[2+(5/s)+(5/s²)]/(s²+2s-3)

Usando o método das frações parciais e a Transformada inversa de Laplace, obtemos:

y(t) = -(5/3) + 3 e^t + (2/3) e^-3t

Exercício: Resolver as equações:

1. y' + Int[y(t)] = 1, y(0) = 2

2. y' - y - 6 Int[y(t)] = 12 exp(3t), y(0)= -3

3. y + Int[(y(t)] = sen(2t)

onde Int[y(t)] =	t 0	y(u) du

Decomposição em frações parciais

Quando trabalhamos com Transformadas de Laplace é muito comum tomarmos uma função racional (divisão de um polinômio F(s) por outro polinômio G(s) ambos na variável s) e realizar uma decomposição deste quociente em frações mais simples. Tomaremos três hipóteses essenciais na sequência:

1. Os polinômios F=F(s) e G=G(s) têm somente coeficientes reais;

2. Os polinômios F=F(s) e G=G(s) não têm fatores em comum;

3. O grau do numerador F=F(s) é menor que o grau do denominador G=G(s).

São quatro os casos que analisados:

1. O polinômio G=G(s) que está no denominador tem um fator não repetido (s-a). Assim:

   Y(s)=F(s)/G(s) = A/(s-a) + R(s)

   e a transformada inversa de Laplace nos dá:

   L^-1[Y(s)] = A e^at + L^-1[R(s))

   onde

   Q(s)=(s-a)F(s)/G(s)

   e a constante A é dada por:

   A=Q_a(a)=F(a)/G'(a)

   
   

   Exercício: Obter a função f=f(t) tal que

   F(s)=(7s-1)/[(s-3)(s+2)(s-1)]

   Resposta: f(t) = 2 exp(3t) - exp(-2t) - exp(t)

   
   

2. O polinômio G=G(s) tem um fator repetido (s-a)^m. Aqui:

   Y(s) = F(s) /G(s) = A_m/(s-a)^m + A_m-1/(s-a)^m-1 + A₁/(s-a) + R(s)

   e a transformada inversa de Laplace nos dá com L^-1[Y(s)]=y(t):

   y(t)=e^at[A_mt^m-1/(m-1)! +A_m-1t^m-2/(m-2)!+...+A₂t+A₁]+L^-1[R(s)]

   onde as constantes A₁, A₂, A₃, ..., A_m são dadas por:

   A_m=Q_a(a)

   A_k=1/(m-k)! (Q_a)^(m-k)(a)      (k=1,2,3,...,m-1)

   onde a função Q_a é definida por:

   Q_a(s) = (s-a)^mF(s)/G(s)

   
   

   Exercício: Mostrar que a função f=f(t) tal que F(s)=1/[(s-4)(s-3)³] é dada por:

   f(t) = 2exp(3t)[-t²-2t-2] + exp(4t).

   
   

   Em momento algum chamamos a atenção para o fato que o número a deveria ser real ou complexo, entretanto se a é um número complexo da forma c+di, então podemos fazer a decomposição em frações parciais de uma forma um pouco diferente, pois sabemos da Álgebra que se a=c+di é uma raiz de G(s)=0, então a^-=c-di (conjugado de a) também é uma raiz de G(s)=0, pois todos os coeficientes do polinômio G(s) são números reais.

   
   

3. O polinômio G=G(s) tem um fator complexo s-a não repetido. Neste caso:

   Y(s) = F(s) /G(s) = A/(s-a) + R(s)

   e multiplicando pelo conjugado de s-a = conj(s-a), teremos constantes c e d tal que:

   Y(s)=F(s)/G(s) = A conj(s-a) /[(s-c)²+d²] + R(s)

   ou seja

   Y(s)=F(s)/G(s) = (As +B)/[(s-c)²+d²] + R(s)

   onde agora A e B são números reais.

   A transformada inversa de Laplace nos dá:

   L^-1[Y(s)) = (1/d) exp(ct) [ T_a cos(dt) + S_a sen(dt)] + L^-1[R(s))

   
   

4. O polinômio G(s) tem um fator complexo (s-a)². Neste caso:

   Y(s) = F(s)/G(s) = A/(s-a)² + R(s)

   e multiplicando por (conj(s-a))², teremos:

   Y(s) = (As+B)/[(s-c)²+d²]² + (Cs+D)/[(s-c)²+d²] + R(s)

   onde agora A, B, C e D são números reais.

   O restante segue de forma similar aos casos anteriores.

   
   

   Exercício: Se F(s)=(s²+2)/[s²+2s+5]², mostrar que a função f=f(t) tal que L[f]=F é dada por f(t)=2exp(-t)[(t/16).cos(2t)+{(-t/4)+7/32}sen(2t)].

Solução de Sistemas de equações diferenciais lineares

Para resolver alguns sistemas com duas equações diferenciais lineares nas funções incógnitas x=x(t) e y=y(t), podemos aplicar a Transformada de Laplace a cada Equação Diferencial Ordinária de forma que L[x]=X(s) e L[y]=Y(s) e fazer com que o sistema recaia num sistema algébrico com duas equações nas incógnitas X=X(s) e Y=Y(s).

Veremos como isto funciona com um exemplo relativamente simples mas suficientemente amplo para mostrar a funcionalidade do método.

Exemplo: Determinar a solução do sistema com duas Equações Diferenciais Ordinárias Lineares

x'(t)+x(t)+y'(t)-y(t)=2
x"(t)+x'(t)-y'(t)=cos(t)

com as condições iniciais: x(0)=0, x'(0)=2, y(0)=1.

L[x"(t)]=s²X(s)-sx(0)-x'(0)=s²X(s)-x'(0)
L[x']=s.X(s)-x(0)=s.X(s)
L[y']=s.Y(s)-y(0)=s.Y(s)-1
L[2]=2/s
L[cos(t))=s/(s²+1)

então

L[x'(t)+x(t)+y'(t)-y(t)]=L[2]
L[x"(t)+x'(t)-y'(t)]=L[cos(t)]

logo, poderemos escrever:

(s+1) X(s)+(s-1)Y(s)=1+2/s
(s²+s)X(s)- s   Y(s)=1+s/(s²+1)

Este sistema resolvido pela regra de Cramer, nos fornece:

X(s) = 1/s² + 1/(s²+1)
Y(s) = 1/s² + s/(s²+1)

E com as transformadas inversas de Laplace destas funções obteremos:

x(t) = t + sen(t)
y(t) = t + cos(t)

Resolução de Equações com coeficientes variáveis

Já mostramos antes, que a derivada em relação ao parâmetro s, fornece

d/ds {L[f(t)]} = F'(s) = L[(-t) f(t)]

e que em geral:

F⁽ⁿ⁾(s) = L[(-t)ⁿ.f(t)]

o que significa que a "n-ésima derivada da transformada de Laplace de f=f(t) é igual à transformada de Laplace da função (-t)ⁿ f(t)", isto é:

dⁿ/dsⁿ L[f(t)] = L[(-t)ⁿf(t)]

Em particular, se tomarmos f(t) = y'(t), obteremos:

d/ds L[y'(t)] = L[-t.y'(t)]

que pode ser escrito na forma:

L[t.y '(t)] = - d/ds L[y ']

e como L[y ')=sY(s)-y(0), então

L[t.y '(t)] = -d/ds[sY(s)-y(0)] = - s Y '(s) - Y(s)

Resumindo, temos para a primeira derivada:

L[t y '(t)] = - s Y '(s) - Y(s)

Repetindo o processo para a função f(t)=y "(t), teremos:

L[t y "(t)] = - s² Y '(s) - 2s Y(s) + y(0)

Aplicação: Resolver o Problema com Valor Inicial com uma EDOL com coeficientes variáveis:

y"+t.y'-2y=4,    y'(0)=0,   y(0)=0

Solução: Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da igualdade, obteremos:

L[y " + t y ' - 2y) = L[4)

Como:

L[y"(t)]=s²Y(s)-s.y(0)-y'(0)=s²Y(s)
L[t.y']=-s.Y'(s)-Y(s)
L[4]=4/s

então obtemos uma EDO linear, mas agora Y=Y(s) é a função incógnita:

Y'(s) + (3-s²)/s Y(s) = -4/s²

Resolvendo esta EDO linear, obtemos:

Y(s) = 4/s³ + C exp(s²/2)/s³

e calculando a transformada inversa de Laplace desta última função e tomando C=0, teremos a solução:

y(t) = 2 t²

Translações de funções

Tomando a Transformada de Laplace

F(s)=	0	e-st f(t) dt

e multiplicando ambos os lados da igualdade por e^-sb com b>0, teremos:

e-sbF(s)=	0	e-s(b+t) f(t) dt

e substituindo u=b+t, poderemos escrever:

e-sbF(s)=	0	e-su f(u-b) du

Se f(t)=0 para t<0, temos que f(u-b)=0 se u<b e f(u-b)=f(t) se u>b, logo, o gráfico de y=f(u-b) é o mesmo que o gráfico da função y=f(t) transladada para a direita b unidades. Assim:

f(u-b) = L^-1[ e^sbL[f(t)] ]

ou seja:

L[f(u-b)] = e^sbF(s)

Exemplo: Seja a função f(t)=cos(t) com t em [0,] e a translação associada de unidades para a direita f(t) = cos(t-).

Transformada de Laplace de uma função periódica

Consideremos uma função periódica de período p>0, isto é, uma função tal que f(t+p)=f(t) para todo t>0. A Transformada de Laplace de f é dada por:

F(s)=	0	e-st f(t) dt

Fazendo a decomposição desta integral em infinitas integrais realizadas sobre os sub-intervalos de comprimento , para escrever:

F(s)=(	0	+	2 1	+	3 2	+	4 3	+...)	e-st f(t) dt

Substituindo u=t- na segunda integral, u=t-2 na terceira integral, u=t-3 na quarta integral e assim por diante, poderemos escrever:

F(s) =	0	e-suf(u)du	+	0	e-s(u+)f(u)du	+	0	e-s(u+2)f(u)du	+ ...

que pode ser reescrito:

F(s)=(1 + e-s+ e-2s + e-3s+ ...)	0	e-su f(u) du

e como a expressão dentro dos parênteses é a soma dos termos de uma PG, segue que:

F(s)=	1 1 - e-s	0	e-su f(u) du

O que fizemos aqui para p=, vale também para outros valores reais.

Exemplo: Para a função f(t)=sen(t) com 0<t< e f(t)=0 se t>, é possível mostrar que

F(s)=	0	e-st sen(t) dt	=	1+es s²+1

Exemplo: Para a função definida por f(t)=t se 0<t<6 e f(t+6)=f(t) para todo t real, então

F(s)=	0	e-st f(t) dt	=	1 1-e-6s	0	e-st t dt

e esta última integral pode ser calculad por integração por partes, assim

L[f)(s) = 1/[1-e^-6s] {1/s²(1-e^-6s)-6 e^-6s/s}

A função Gama

A função gama, denotada por =(z), é definida através da integral imprópria:

(z) =	0	e-t tz-1 dt

Se substituirmos t=sv na função Gama, acima definida, obteremos:

(n) =	0	e-sv (sv)z-1 dv

o que significa que para t=sv>0, vale:

L[t^z-1] = (z)/s^z

Já sabemos para para todo n natural: L[t^n-1]=(n-1)!/sⁿ, assim, se em particular, tomarmos z=n um número natural, poderemos escrever:

(n) = (n-1)!

A função fatorial é definida para números inteiros não negativos, mas a função gama é uma extensão da função fatorial e além disso, ela pode ser obtida para todo todo número real onde esta integral converge.

Aplicando a propriedade G da tabela de transformadas:

L[-t.f(t)] = F'(s)

e tomando f(t)=t^n-1, seguirá que:

L[(-t) t^n-1] = d/ds {(n)/sⁿ}= -n.(n)/sⁿ⁺¹

e como L[tⁿ]=(n+1)/sⁿ⁺¹, segue que para todo n natural, vale:

(n+1) = n.(n)

Na verdade, a função gama pode ser definida para todos os valores de x reais, exceto para os x que são inteiros não positivos. Esta é uma função recursiva que define a função fatorial.

	Construída por Ulysses Sodré.