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Ensino Superior: Método das Frações Parciais

O método das Frações Parciais é usado para decompor funções racionais em formas mais simples, normalmente objetivando processos mais simples de integração ou obtenção de transformadas inversas de Laplace.

Apresentaremos algumas situações e o mínimo necessário de teoria relacionado com cada método. pn(s) significará um polinômio de grau n na variável s, enquanto p(s) é um polinômio a ser especificado, sendo o seu grau indicado por gr(p).


(1) Divisão de p=p(s), gr(p)<n por fatores lineares da forma (s-a1), (s-a2), ..., (s-an-1), (s-an)

Devemos realizar a decomposição da seguinte forma:

O Método para obter os valores Ak (k=1,2,...,n) é o seguinte:

  1. Multiplicar todos os membros da igualdade acima por s-ak;

  2. Simplificar a fração que tem Ak como numerador;

  3. Considerar que para todo s suficiente próximo de ak as funções da direita e da esquerda são contínuas na variável s;

  4. Calcular os limites das funções dos dois membros da igualdade quando s tende a ak;

  5. Mostrar que

    p(ak)
    Ak=
    (ak-a1)(ak-a2)...(ak-ak-1)(ak-ak+1)...(ak-an)
  6. Observar que o denominador da última expressão é o produto de todos os fatores da forma geral (ak-aj) exceto quando j=k.


Exemplo: Decompomos f(s)=(2s²-s+1)/[(s-1)(s-2)(s-3)] em frações parciais com p(s)=2s²-s+1, a1=1, a2=2, a3=3. Assim p(a1)=2, p(a2)=7, p(a3)=16 e além disso:

A1 = p(a1)/[(a1-a2)(a1-a3)] = 2/[1-3)(1-2)]=1
A2 = p(a2)/[(a2-a1)(a2-a3)] = 7/[(2-1)(2-3)]=-7
A3 = p(a3)/[(a3-a1)(a3-a2)] = 16/[(3-1)(3-2)]=8

Resultado final:

2s²-s+11-78

=
+
+
(s-1)(s-2)(s-3)s-1s-2s-3

(2) Divisão de p=p(s) pelo produto de (s-a)mq(s), grau(p)<m+n e q=q(s) é um polinômio de grau n e a não é uma raiz do polinômio q

Devemos realizar a decomposição da seguinte forma:

onde r=r(s) é uma função diferenciável na variável s contendo termos que aparecem em função do polinômio q=q(s).

O método para obter os valores Ak (k=1,2,...,m) é:

  1. Tomar a divisão D(s)=p(s)/q(s), multiplicar ambos os membros da igualdade acima por (s-a)m e usar o fato que as funções da esquerda e da direita são contínuas em s=a, para obter:

    Am = D(a) = p(a)/q(a)

  2. Realizar a primeira derivada D'(s), para obter

    Am-1 = D'(a)

  3. Mostrar que, em geral, vale a relação:

    Am-k = D(k)(a) / k!

    para cada k=1,2,3,...,m, sendo k! o fatorial de k.


Exemplo: Para f(s)=s/[(s-1)³(s-2)], tomaremos p(s)=s e q(s)=s-2 que são polinômios do primeiro grau, logo, esta função pode ser decomposta em frações parciais como:

sA1A2A3B

=
+
+
+
(s-1)³(s-2)s-1(s-1)²(s-1)³s-2

Multiplicando todos os membros da igualdade pelo produto (s-1)³(s-2) (mínimo múltiplo comum), obteremos:

s = A1(s-2)(s-1)² + A2(s-2)(s-1) + A3(s-2) + B(s-1)³

Calculando o limite de cada membro quando s tende a 2 e quando s tende a 1, obteremos B=2 e A3 = -1.

Multiplicando todos os membros da primeira igualdade apresentada por (s-1)³, obteremos:

s/(s-2) = A1(s-1)² + A2(s-1) + A3 + 2

Aproveitando a última igualdade e substituindo os valores já conhecidos das constantes, teremos:

s/(s-2) = A1(s-1)² + A2(s-1) + 1

Derivando ambos os membros desta última expressão em relação à variável s, teremos:

-2/(s-2)² = 2 A1 (s-1) + A2

Calculando os limites de ambos os membros desta última igualdade quando s=1, teremos A2=-2.

Derivando ambos os membros da última igualdade em relação à variável s e calculando o limite quando s=1, obteremos A1=-2.

Resultado final:

s-2-2-12

=
+
+
+
(s-1)³(s-2)s-1(s-1)²(s-1)³s-2

(3) Divisão de um polinômio p=p(s) pelo produto de dois outros q=q(s) e r=r(s), sendo que p(s) e q(s) têm coeficientes reais, gr(p) < gr(q)=n e q(s) só tem duas raízes complexas conjugadas.

Se q=q(s) tem duas raízes complexas conjugadas, digamos: r1=a+bi e r2=a-bi, então, a menos de uma constante multiplicativa, podemos escrever:

q(s) = (s-r1)(s-r2) = (s-(a+bi))(s-(a-bi)) = (s-a)²+b²

Poderemos realizar a decomposição na forma:

onde h=h(s) depende somente dos termos de r=r(s).

O método para obter os coeficientes é o seguinte:

  1. Multiplicar ambos os membros da igualdade acima pelo produto q(s).r(s) para obter:

    p(s) = A(s-a) q(s) r(s) + h(s) q(s) r(s)

  2. Simplificar o membro da direita e o da esquerda para obter polinômios;

  3. O polinômio da esquerda deve ser identicamente igual ao da direita para obter o coeficiente A e h=h(s).

Exemplo: Para f(s)=s/(s²-4s+13)(s-7), tomamos p(s)=s, q(s)=s²-4s+13 e r(s)=s-7. q=q(s) possui duas raízes complexas conjugadas r1=2+3i e r2=2-3i e podemos decompor na forma q(s)=(s-2-3i)(s-2+3i)=(s-2)²+3². Assim, esta função pode ser decomposta em frações parciais como:

sA(s-2)B

=
+
(s²-4s+13)(s-7)(s-2)²+9s-7

Multiplicando todos os membros pelo mínimo múltiplo comum, obteremos:

s = A(s-2)(s-7) + B[(s-2)² + 9]

Tomando s=2 nesta última identidade, obtemos B=2/9.

Derivando esta última identidade em relação à variável s, obtemos:

1 = A(s-2) + A(s-7) + 2B(s-2)

e tomando s=7 nesta última igualdade e B=2/9 já obtido anteriormente, obtemos A=-11/45.

Resultado final:

s(-11/45)(s-2)2/9

=
+
(s²-4s+13)(s-7)(s-2)²+9s-7

(4) Divisão de um polinômio p=p(s) pelo produto de dois outros q=q(s) e r=r(s), sendo que p(s) e q(s) têm coeficientes reais, gr(p) < gr(q)=n e além disso q(s) posssui n/2 raízes complexas conjugadas.

Este caso é uma mistura dos casos (2) e (3).


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