Na sequência serão apresentados alguns tipos especiais de Equações Diferenciais e algumas formas para obter as respectivas soluções por redução a outras mais simples.

Equação do tipo y⁽ⁿ⁾=f(x)

A solução será obtida por n integrais sucessivas da função f=f(x).

Exemplo: y''' = 2x + 7

Realizar a primeira integral para reduzir a ordem para:

y'' = x² + 7x + C₁

Na sequência tomar duas outras integrais para obter:

y(x) = (1/12) x⁴ + (7/12) x³ + A x² + Bx + C

Equação sem o termo em y e as derivadas até a ordem k-1

1. A equação não tem a função y=y(x)

   
   

   Exemplo: x y''+y'=0

   Com p(x)=y'(x), teremos a EDO com a ordem uma unidade a menos na variável dependente p e na variável independente x:

   x p' + p = 0

   A solução desta equação é:

   p(x) = K/x

   Agora, basta resolver a equação

   y'(x) = K/x

   para obter

   y(x) = A ln(x) + B

   
   

2. A equação não tem termos em y e em y'

   
   

   Exemplo: x y'''+y''=0

   Com p(x)=y''(x), teremos a EDOL com a ordem duas unidades a menos:

   x p' + p = 0

   Já vimos que p(x)=K/x. Basta agora resolver a EDO:

   y''(x) = K/x

   
   

3. A equação não tem termos em y, y' e y"

   
   

   Exemplo: x y⁽⁴⁾ - y⁽³⁾= 0

   Com p(x)=y'''(x), teremos a EDO com a ordem três unidades a menos:

   x p' - p = 0

   Como p(x)=K/x, basta resolver a EDO:

   y''' = p(x)

   
   

4. A equação não tem termos em y, y', y'', ... , y^(k-1)

   Tomamos

   p=y^(k),  p''=y^(k+1),  p''=y^k+2,  ...,  p^(n-2)=y⁽ⁿ⁾

   e reduzimos a EDO dada a uma outra equação de ordem n-k na variável dependente p e na variável índependente x.

Equação não contém a variável independente

Tomar p=y' para reduzir a ordem em uma unidade e observar que em virtude da falta da variável x, podemos pensar que p=p(y) e desse modo:

y' = dy/dx = p(y)
y'' = dp/dx = dp/dy . dy/dx = p'(y).y'(x) = p'(y) . p(y)
y''' = d(y'')/dx = d(y'')/dy . dy/dx

y⁽³⁾ = d(p'(y).p(y))/dy . y'(x)= p² p''(y) + p . (p'(y))²

Exemplo: y'' + (y')² = 2 exp(-y)

Tomar y' = p(y) e y'' = p(y) p'(y), para obter:

p(y) p'(y) + p² = 2 exp(-y)

Usar a substituição z(y) = p²(y):

2 p(y) p'(y) = dz/dy

para garantir que:

dz/dy + 2 z(y) = 4 exp(-y)

Como esta é uma EDO linear, basta resolvê-la e voltar às variáveis originais.

EDO F(y,y',...y⁽ⁿ⁾)=0, F é homogênea só de y, y', ..., y⁽ⁿ⁾

Reduzir a ordem desta EDO com a substituição:

y = exp(Integral [z(x) dx])

ou seja

Ln(y) = Integral [z(x) dx]

onde z=z(x) é uma função que será determinada.

Exemplo: x² y y'' - (y - x y')² = 0

Observar que a função

F(y,y',y'') = x² y y'' - (y - x y')²

é homogênea de grau 2 nas variáveis y, y' e y''.

Tomar y(x) = exp( Integral z(x) dx), para obter:

y' = z y

e

y'' = (z ' + z²) y

Substituir as novas variáveis na EDO dada e simplificar para obter:

x² (z ' + z²) - (1 - xz)² = 0

que também pode ser escrita na forma:

x² z ' + 2x z = 1

Após a resolução desta última equação, devemos voltar às variáveis originais.

	Construída por Ulysses Sodré.