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Ensino Superior: EDO: Conceitos Básicos

Equação Diferencial Ordinária

Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma

F(x,y'(x),y"(x),y'''(x), ... ,y(n)(x)) = 0

envolvendo uma função incógnita y=y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais. x é a variável independente e y é a variável dependente.

Exemplos:

  1. y"+3y'+6y=sen(x)

  2. (y")³+3y'+6y=tan(x)

  3. y"+3yy'=exp(x)

  4. y'=f(x,y)

  5. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0


Ordem e Grau de uma Equação Diferencial

A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a forma de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas, como por exemplo: Ay(3)+By(2)+Cy(1)+Dy(0)=0


Exemplos:

  1. y"+3y'+6y=sen(x) tem ordem 2 e grau 1

  2. (y")³+3y'+6y=tan(x) tem ordem 2 e grau 3

  3. y"+3yy'=exp(x) tem ordem 2 e grau 1

  4. y'=f(x,y) tem ordem 1 e grau 1

  5. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 tem ordem 1 e grau 1


Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n

Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:

ao(x) y(n)+a1(x) y(n-1)+a2(x) y(n-2)+...+an(x) y = b(x)

onde ao=ao(x) é uma função não nula, as funções b=b(x) e ak=ak(x) (k=0,1,2,...,n) são funções conhecidas e dependem somente de x e a notação y(k) significa a derivada de ordem k da função y em relação à variável x (k=0,1,2,...,n).

Em uma equação diferencial ordinária linear a função incógnita y=y(x) a ser obtida somente pode operar com características lineares.


Solução de uma Equação Diferencial Ordinária

Uma solução para uma Equação Diferencial é uma função que satisfaz identicamente a equação. A solução mais geral possível que admite uma Equação Diferencial é denominada solução geral, enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.

Exemplos:

  1. y(x)=exp(-x) é uma solução particular de y'+y=0.

  2. y(x)=C exp(-x) é a solução geral de y'+y=0.

  3. y(x)=sen(x) é uma solução particular de y"+y=0.

  4. y(x)=Asen(x)+Bcos(x) é a solução geral de y"+y=0

  5. y(x)=99 é uma solução particular de y'''+3y'y"=0


Existência e unicidade de solução de uma EDO

Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? Em caso positivo, será que esta solução é única? Será que existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características.

Alertamos que obter uma solução para uma Equação Diferencial é "similar" a calcular uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas, dessa forma não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções.


Problema de Valor Inicial (PVI): Um problema com uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais é denominado Problema de Valor Inicial (PVI). Se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral.


Modelos Matemáticos e Equações Diferenc. Ordinárias

Muitos problemas aplicados que envolvem a Matemática, normalmente podem ser modelados de acordo com as quatro situações (não muito bem definidos) como:

  1. Construir um modelo matemático para descrever o fenômeno físico;

  2. Estabelecer um procedimento matemático adequado ao modelo físico;

  3. Realizar cálculos numéricos aproximados com o uso do Modelo Matemático preestabelecida;

  4. Comparar as quantidades numéricas obtidas através do Modelo Matemático com aquelas que se esperava obter a partir da formulação do modelo criado para resolver o problema.

Após estas etapas, costuma-se analisar os resultados e na verificação de que os mesmos estão adequados, aceita-se o modelo e na inadequação dos resultados, reformula-se o modelo, geralmente introduzindo maiores controles sobre as variáveis importantes, retirando-se os controles sobre as variáveis que não mostraram importância.


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