Equação eqüidimensional de Euler (ou de Cauchy) é uma equação diferencial ordinária linear (EDOL) da forma

a_n xⁿ y⁽ⁿ⁾ + a_n-1 x^n-1 y^(n-1) + ... + a₁ x y' + a_o y = g(x)

onde n é um número natural que fornece a ordem da equação se a_n é não nulo e os a_k são números reais (k=0,1,2,...,n)

Na sequência trataremos apenas das EDOL de Euler que são homogêneas. Para resolver as EDOL de Euler não homogêneas, deve-se usar o método da variação dos parâmetros.

Solução da equação homogênea de Euler: Para resolver esta equação, procuraremos obter números reais ou complexos r de tal forma que y(x)=x^r, seja solução da EDOL dada, para cada r possível.

Desta forma obteremos n soluções LI que resolvem a EDOL homogênea associada à equação dada. Sob esta hipótese, temos que:

y' = r x^r-1,  e  y'' = r(r-1) x^r-2

e em geral

y^(k) = A(r,k) x^r-k

sendo que A(r,k)=r(r-1)(r-2)...(r-k+1) é a expressão do arranjo de r elementos com a taxa k.

Para facilitar inicialmente os nossos trabalhos, vamos considerar o caso geral de uma EDOL não homogênea de Euler de ordem n=2, isto é:

a x² y'' + b x y' + ... + c y = g(x)

A equação homogênea associada aqui é a.x²y''+b.xy'+cy=0 e substituindo tanto a função y=y(x) como as suas derivadas obtemos:

x^r (a r(r-1) + b r + c) = 0

Como procuramos soluções que sejam LI, devemos ter que

a r(r-1) + b r + c = 0

que simplificada, nos fornece a equação indicial da EDOL de Euler:

a r² + (b-a) r + c = 0

Como esta equação indicial é do segundo grau, temos três possibilidades: duas raízes reais e distintas, duas raízes reais e iguais e duas raízes complexas conjugadas. Realizaremos agora uma análise desse casos:

(1) Duas raízes reais e distintas r e s: Neste caso: y₁(x)=x^r e y₂(x)=x^s, logo a solução da homogênea será:

y(x) = C₁ x^r + C₂ x^s

Exemplo: Seja a EDOL de Euler L(y)=x²y''-2xy'+2y=0. A equação indicial associada é r²-3r+2=0 cujas raízes são r=1 e r=2, logo a solução geral é:

y(x) = C₁ x + C₂ x²

(2) Duas raízes reais e iguais a r: Aqui y₁(x)=x^r e a segunda função é dada pela multiplicação de x^r por ln(x), isto é:

y₂(x) = x^r ln(x)

logo a solução da homogênea será:

y(x) = C₁ x^r + C₂ x^r ln(x)

Exemplo: Seja a EDOL de Euler L(y)=x²y''-3xy'+4y=0. Quando tomamos y(x)=x^r, então:

L(x^r) = (r² - 4r + 4) x^r

Assim a equação indicial associada é r²-4r+4=(r-2)²=0, que tem uma raíz dupla r=2, logo uma solução é:

y₁(x) = x²

Para obter uma segunda solução da forma:

y₂(x) = ln(x) y₁(x) = x² ln(x)

vamos retomar a expressão já obtida anteriormente e realizar um detalhamento para justificar esta multiplicação por ln(x).

Como:

L(x^r) = (r-2)² x^r

então, aplicando o operador diferencial em relação a variável r, aqui denotado por Ð_r, teremos:

Ð_r L(x^r) = Ð_r[(r-2)² x^r]

Como os operadores diferenciais Ð_r e L comutam, então podemos reescrever esta última expressão como:

L(Ð_r (x^r)) = Ð_r[(r-2)² x^r]

Como estamos fazendo a derivada em relação à variável r, nosso trabalho será um pouco maior e neste caso:

Ð_r (x^r) = Ð_r [e^{r ln(x)}] = ln(x) D_r[e^{r ln(x)}] = ln(x) x^r

o que garante que

L[ ln(x) x^r] = 2(r-2)x^r + (r-2)² ln(x) x^r

Neste caso sabemos que o autovalor é r=2 e faremos r=2 na última expressão para obter:

L[ ln(x) x²] = 0

Como o operador L aplicado a esta função fornece um resultado nulo, segue que esta é uma outra solução da EDOL de Euler, ou seja:

y₂(x) = x² ln(x)

Como o conjunto formado pelas funções y₁ e y₂ é linearmente independente, podemos escrever a solução geral como:

y(x) = C₁ x² + C₂ x² ln(x)

ou seja

y(x) = x² [ C₁ + C₂ ln(x) ]

Exemplo: Seja agora uma EDOL de Euler de terceira ordem x³y⁽³⁾+6x²y''+7xy'+y=0. Tomando y(x)=x^r seguirá que:

x^r ( r³ +3 r² + 3 r + 1) = 0

Observamos que a equação indicial (característica) é:

r³ +3 r² + 3 r + 1 = 0

e tem a raiz tripla r=-1, o que nos garante uma primeira solução:

y₁(x) = x^–1

Com um processo similar ao do exemplo anterior, multiplicamos y₁ por ln(x) para obter:

y₂(x) = x^–1 ln(x)

e multiplicamos y₂ por ln(x) para obter:

y₃(x) = x^–1 (ln(x))²

e a solução geral desta EDOL de Euler é:

y(x) = x^–1 [ C₁ + C₂ ln(x) + C₃ ln²(x) ]

(3) Duas raízes complexas conjugadas: Se as raízes são dadas por r₁=a+bi e r₂=a-bi, poderíamos tentar usar as funções complexas, como:

y₁(x) = x^a+bi;   y₂(x) = x^a-bi

mas isto nem sempre é adequado, pois estamos procurando funções reais válidas para x>0. Trabalharemos então com as partes real e imaginária do número complexo r=a+bi para obter a solução da EDOL homogênea de Euler.

y(x) = x^a+bi = x^a x^bi= x^a exp[b ln(x)i]

e pela relação de Euler:

y(x) = x^a [ cos(ln(x^b)) + i sen (ln(x^b))]

ou seja

y(x) = [ x^a cos(ln(x^b))] + i [ x^a sen(ln(x^b))]

Desse modo, tomamos as partes real e imaginária desta última função como as soluções LI procuradas, que são as funções reais:

y₁(x) = x^a cos(ln(x^b));  y₂(x) = x^a sen(ln(x^b))

e a solução geral da EDOL homogênea associada é:

y(x) = C₁ x^a cos(ln(x^b))+ C₂ x^a sen(ln(x^b))

ou seja

y(x) = x^a [ C₁ cos(ln(x^b)) + C₂ sen(ln(x^b))]

Exemplo: Seja a EDOL de Euler L(y)=x²y''+xy'+4y=0. A equação indicial associada é r²+4=0, cujas raízes são r=2i=0+2i e r=-2i=0-2i, logo:

y₁(x) = x^o cos(ln(x²)) = cos(ln(x²))
y₂(x) = x^o sen(ln(x²)) = sen(ln(x²))

e a solução geral da EDOL homogênea associada é:

y(x) = C₁ cos(ln(x²)) + C₂ sen(ln(x²))

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