Dada uma EDO linear homogênea de 2a. ordem da forma:

L(y) = a(x) y'' + b(x) y' + c(x) y = 0

e uma solução conhecida y₁=y₁(x), o método de d'Alembert proporciona uma forma de construir uma segunda solução y₂=y₂(x) para esta equação de modo que o conjunto das soluções de L(y)=0:

C = { y₁, y₂ }

seja linearmente independente. O método consiste em multiplicar a solução conhecida y₁=y₁(x) por uma função v=v(x) que deverá ser obtida através de uma equação que aparecerá quando substituiros y₂=y₂(x) na EDOL dada, considerando que L(y₁) = 0, isto é:

y₂(x) = v(x) y₁(x)

Explicaremos o funcionamento do método através de dois exemplos.

Exemplo: Usando o método de d'Alembert, resolver a equação x²y''-4xy'+6y=0, assumindo que y₁(x)=x² seja uma solução (Verifique isto!).

Tomando

y₂(x) = v(x) x²

teremos:

y₂ '(x) = v '(x) x² + 2x v(x)
y₂ ''(x) = v ''(x) x² + 4x v '(x) + 2 v(x)

que é igual a x⁴ v ''(x) = 0, ou seja

v ''(x) = 0

Resolvendo esta EDO, obtemos:

v(x) = ax + b

Como estamos procurando uma função simples (caso particular) com esta propriedade mas que não seja nula, tomaremos a=1 e b=0 e assim

v(x) = x

e a nossa segunda solução será

y₂(x) = x . x² = x³

A solução geral da EDO dada é:

y(x) = C₁ x² + C₂ x³ = x² ( C₁ + C₂ x)

Exemplo: Com o método de d'Alembert, resolver a equação t²y''+3ty'+y=0, assumindo que y₁(t)=1/t seja uma solução (Verifique isto!).

Tomaremos y(t)=v(t)/t, para obter

y'(t) = t^–1 v'(t) - t^–2 v(t)
y''(t) = t^–2 [ t v ''(t) - 2 v '(t) + 2 t^–1 v(t)]

Substituindo estas derivadas assim como a função y=y(t) na EDO com coeficientes variáveis teremos:

t v ''(t) + v '(t) = 0

e tomando v '(t) = p(t), teremos a EDO linear de 1a. ordem:

t p'(t) + p(t) = 0

cuja solução é

p(t) = K t^–1

Voltando à variável introduzida anteriormente, teremos:

v '(t) = K t^–1

cuja solução é:

v(t) = C ln(t) + D

e voltando à função tomada inicialmente, com C=1 e D=0:

y₂(x) = ln(t) . t^–1

e a solução geral da EDO dada é:

y(x) = C₁ t^–1 + C₂ ln(t).t^–1

ou seja

y(x) = t^–1 [C₁+C₂.ln(t)]

	Construída por Ulysses Sodré.