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Ensino Superior: EDO: Aplicações

Decaimento Radioativo

Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do material. Se Q=Q(t) é a quantidade presente de um certo material radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, aqui denotada por dQ/dt, é dada por:

dQ/dt = k Q(t)

onde k é uma constante negativa bem definida do ponto de vista físico. Por exemplo, para o Carbono 14 o valor aproximado é k=-1,244×10-4, para o Rádio o valor aproximado é k=-1,4×10-11

Normalmente consideramos Q(0)=Qo a quantidade inicial do material radioativo considerado. Quando não conhecemos o material radioativo, devemos determinar o valor da constante k, o que pode ser feito através da característica de "meia-vida" do material. A "meia-vida" é o tempo necessário para desintegrar a metade do material. Portanto, se nós conhecemos a meia-vida do material, podemos obter a constante k e vice-versa. Em livro de de Química podemos obter as "meias-vidas" de vários materiais radioativos. Por exemplo, a meia-vida do Carbono-14 está entre 5538-5598 anos, numa média de 5568 anos com um erro para mais ou para menos de 30 anos. O Carbono-14 é uma importante ferramenta em Pesquisa Arqueológica conhecida como teste do radiocarbono.


Exemplo: Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g no final de 30 dias. Com quanto radioisótopo você deve começar?

Solução: Desde que a "meia-vida" está dada em dias nós mediremos o tempo em dias. Seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0)=Qo a quantidade inicial. Sabemos que r é uma constante e usaremos a "meia-vida" 16 dias para obter a constante k.

Realmente, temos que:

Q(t) = Qo ekt

mas para t=16, teremos Q(16)=½Qo, logo

½ Qo = Qo e16k

assim

e16k = 1/2

Aplicando o logaritmo natural em ambos os membros da igualdade, obtemos:

k = - [ln(2)]/16 = - 0,043321698785

e dessa forma temos a função que determina a quantidade de material radioativo a qualquer momento:

Q(t) = Qo e 0,043321698785 t


Crescimento Populacional: Malthus

Problemas populacionais nos levam fatalmente às perguntas:

  1. Qual será a população de um certo local ou meio ambiente em alguns anos?

  2. Como poderemos proteger os recursos deste local ou deste meio ambiente para que não ocorra a extinção de uma ou de várias espécies?

Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionado com este problema, consideraremos o modelo matemático mais simples para tratar sobre o crescimento populacional de algumas espécies. Ele é chamado o Modelo de Crescimento Exponencial, isto é, a taxa de variação da população em relação ao tempo, aqui denotada por dP/dt, é proporcional à população presente. Em outras palavras, se P=P(t) mede a população, nós temos

dP/dt = k P

onde a taxa k é uma constante. É simples verificar que se k>0, nós teremos crescimento e se k<0, nós teremos decaimento. Esta é uma EDO linear que quando resolvida nos dá:

P(t) = Po ek.t

onde Po é a população inicial, isto é P(0)=Po. Portanto, concluimos o seguinte:

  1. Se k>0, a população cresce e continua a expandir para +infinito.

  2. Se k<0, a população se reduzirá e tenderá a 0. Em outras palavras, a população será extinta.

O primeiro caso, k>0, não é adequado e o modelo pode não funcionar bem a longo prazo. O argumento principal para isto vem das limitações do ambiente. A complicação é que o crescimento populacional é eventualmente limitado por algum fator, usualmente dentre aqueles recursos essenciais. Quando uma população está muito distante de seu limite de crescimento ela pode crescer de forma exponencial, mas quando está próxima de seu limite o tamanho da população pode variar.


Crescimento Populacional: Verhulst

Existe um outro modelo proposto para remediar este problema do modelo exponencial. Ele é chamado o Modelo Logistico ou modelo de Verhulst-Pearl. A EDO para este modelo é

dP/dt = k P (1 - P/L)

onde L é o limite máximo para a população (também chamado a capacidade do ambiente). Se P=P(t) é pequeno quando comparado com L, a EDO se reduz à equação exponencial.

Este é um exemplo de uma EDO não linear separável. As soluções constantes são P=0 e P=L. As soluções não constantes podem ser obtidas pela separação das variáveis, seguido do uso de integração com o uso da técnica das frações parciais.

Com algumas manipulações algébricas, teremos:

P(t) = L C ekt / (L + C ekt)

onde C é uma constante e L é o limite do ambiente.

Considerando P(0)=Po e assumindo que Po não é igual a 0 nem igual a L, obteremos:

Com cálculos simples de limites podemos mostrar que quando t cresce para mais infinito, então:

Lim P(t) = L

Esta solução já diz muito mais que a outra, entretanto este modelo ainda é satisfatório pois não nos diz quando uma população estará extinta. Mesmo começando com uma população pequena, a população sempre tenderá para a capacidade L do ambiente. Embora este modelo ainda possua falhas, êle é bastante apropriado para a análise de crescimento populacional de cidades, assim como como de populações de lactobacilos e outros.


Lei do resfriamento de Newton

Sobre a condução do calor: Um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente onde está posto, aceita três hipóteses básicas:

  1. A temperatura T=T(t) depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo.

  2. A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante no decorrer da experiência.

  3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o maio ambiente.


Montagem da EDO: Assumiremos verdadeiras as hipóteses acima, observando que:

dT/dt = -k(T-Tm)

onde T=T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura constante do meio ambiente, T-Tm é a diferença de temperatura e k é uma constante que depende do material com que o corpo foi construido, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.


Resolução da EDO: Esta é uma EDO separável, que pode ser transformada em:

dT/(T-Tm) = -k dt

Integrando ambos os membros em relação à variável tempo, teremos:

Ln(T-Tm) = -kt + ko

Aplicando a função exponencial a ambos os membros e tomando as constantes embutidas em uma só, teremos:

T(t)-Tm = C exp(-kt)

logo, a solução da EDO será:

T(t) = Tm + C exp(-kt)

Quando temos a temperatura inicial do corpo é T(0)=To, então podemos obter a constante C que aparece na solução, pois:

To = Tm + C

assim

C = To-Tm

e a solução do PVI:

dT/dt = -k(T-Tm),   T(0) = To

será

T(t) = Tm + (To-Tm) exp(-kt)


Circuitos Elétricos RLC

Elementos de Eletricidade: Sem a preocupação de aprofundar nos detalhes relacionados com a Eletricidade, iremos apresentar alguns poucos conceitos necessários ao presente trabalho de Equações diferenciais.

A diferença de potencial entre os pontos A e B de um circuito, denotada por V(t)=VAB, pode ser definida como a integral de linha sobre o segmento de reta S do campo elétrico E=E(t), desde o ponto A até o ponto B, extremidades de S. Normalmente, esta diferença de potencial V(t) é indicada com o sinal negativo, isto é:

A Intensidade da corrente elétrica será a taxa de variação da carga elétrica Q em relação ao tempo t que atravessa uma seção transversal de um condutor. Em símbolos:

I(t) = dQ/dt

A capacitância C de um capacitor submetido a uma carga elétrica Q, com uma diferença de potencial entre as placas indicada por VAB, será dada por:

C = Q/VAB

A lei de Ohm, estabelece que a diferença de potencial VCD nos extremos de um resistor de resistência R submetido a uma intensidade da corrente I, é dada por:

VCD = R I

A indutância L de um indutor é uma constante relacionada com a diferença de potêncial VBC e com a taxa de variação da intensidade da corrente elétrica em relação ao tempo dI/dt, através da expressão matemática:

VBC = L dI/dt


Existem duas leis gerais devidas a Kirchhoff, relacionadas com a corrente elétrica e com a diferença de potencial.


O circuito RLC: Circuitos elétricos mais complexos, às vezes são denominados redes e de forma simples, são formados por resistores com resistência R, indutores com indutância L, capacitores com capacitância C e uma fonte de energia elétrica V=V(t) relacionada com uma função E=E(t).

Usaremos letras nos vértices do circuito para facilitar o estudo, identificando o sentido positivo para o deslocamento da corrente elétrica de A para B e usando a notação para a diferença de potencial entre os pontos X e Y como sendo VXY.


Neste caso não há necessidade de fazer uso da lei dos nós, mas pela lei das malhas de Kirchhoff temos:

VAB + VBC + VCD + VDA = 0

onde VAB é a diferença de potencial gerada pela fonte de alimentação, VBC é a diferença de potencial nos extremos do indutor, VCD é a diferença de potencial nos extremos do resistor e VDA é a diferença de potencial nos extremos do capacitor.

Relacionando agora todos os elementos, temos:


VBC = L dI/dt
VCD = R I
VDA = Q/C

Dessa forma:

-V(t) + L dI/dt + R I + (1/C) Q = 0

Derivando ambos os membros desta EDO em relação ao parâmetro tempo, obteremos:

-E(t) + LI ''(t) + RI '(t) + (1/C)dQ/dt=0

Como I=dQ/dt, então poderemos escrever sem o uso da variável t:

L I '' + R I ' + I/C = E(t)

que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e a parte não homogênea E=E(t). Como I=Q ' , I '=Q '' e:

L I ' + R I + Q/C = V(t)

então, esta EDO também pode ser escrita da forma:

L Q '' + R Q ' + Q/C = V(t)

que também é uma EDO linear com coeficientes constantes e a parte não homogênea V=V(t).

Existem alguns casos particulares interessantes, sendo que alguns deles são teóricos:


  1. Circuito RC: Se não existe indutor e a diferença de potencial VAB é constante, temos E(t)=0 e a EDO se reduz a uma EDO linear homogênea de 1a. ordem:

    R I ' + (1/C) I = 0


  2. Circuito RC: Se não existe indutor e a diferença de potencial VAB=-V(t), a EDO acima se reduz a uma EDO linear não homogênea de 1a. ordem:

    R I ' + (1/C) I = E(t)


  3. Circuito RL: Se não existe capacitor e a diferença de potencial VAB é constante, E(t)=0, a EDO acima se reduz a uma EDO linear homogênea de 1a. ordem:

    L I ' + R I = 0


  4. Circuito RL: Quando não existe indutor e a diferença de potencial V=V(t), a equação acima se reduz a uma EDO linear não homogênea de 1a. ordem:

    L I ' + R I = V(t)


  5. Circuito LC: Quando não existe resistor e a diferença de potencial VAB é constante, a equação acima se reduz a uma EDO linear homogênea de 2a. ordem:

    L Q '' + (1/C) Q = 0


  6. Circuito LC: Quando não existe resistor e a diferença de potencial VAB=-V(t), a equação acima se reduz a uma EDO linear não homogênea de 2a. ordem:

    L Q '' + (1/C) Q = V(t)


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