As formas normal e diferencial

Muitas equações diferenciais ordinárias de 1a. ordem podem ser escrita na sua forma normal, dada por:

y' = f(x,y)

Se a função f=f(x,y) pode ser escrita como o quociente de duas outras funções M=M(x,y) e N=N(x,y), temos:

y' = M(x,y)/N(x,y)

Em geral, usamos o sinal negativo antes de M(x,y):

y' = - M(x,y)/N(x,y)

para poder reescrever:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Exemplos:

1. A EDO y'=cos(x+y) está na forma normal.

2. A EDO y'=x/y está em sua forma normal, mas pode ser reescrita na forma diferencial xdx-ydy=0.

Equações Separáveis

Seja uma EDO M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Se M é uma função apenas da variável x, isto é M=M(x) e N é função apenas da variável y, isto é N=N(y), então a equação dada fica na forma:

M(x) dx + N(y) dy = 0

e ela é denominada EDO separável. Tal fato é motivado pelo fato que é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade somente possua um tipo de variável e assim poderemos realizar a integração de cada membro por um processo bastante "simples".

Exemplo: A EDO y'=x/y, que está na forma normal, pode ser reescrita na sua forma diferencial xdx-ydy=0, assim, xdx=ydy, então integrando cada termo independentemente, teremos:

½ x² + C₁ = ½ y² + C₂

e reunindo as constantes em uma constante C, obtemos:

x²-y² = C

Esta relação satisfaz à EDO dada.

Equações Homogêneas

Uma função f=f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo t real, tem-se que:

f(tx,ty) = t^k f(x,y)

Uma função f=f(x,y) é homogênea de grau 0 se, para todo t real, se tem que:

f(tx,ty) = f(x,y)

Exemplos: Funções homogêneas

1. f(x,y)=x²+y² é de segundo grau.

2. f(x,y)=(x/y)² é de grau zero.

3. f(x,y)=arctan(y/x) é de grau zero.

Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todos os monômios da função têm o mesmo grau e no caso de uma função racional (quociente de polinômios), todos os membros do numerador têm um mesmo grau e todos os membros do denominador também possuem um mesmo grau.

Uma EDO que está na forma normal y'=f(x,y) é homogênea se a função f=f(x,y) é homogênea de grau zero.

Exemplos de EDO homogêneas:

1. y'=(x²+y²)/xy

2. y'=x²/y²

3. y'=arctan(y/x)

Resolvemos uma EDO homogênea, transformando-a em uma EDO com variáveis separáveis através da substituição y(x)=x.v(x) onde v=v(x) é uma nova função incógnita.

Se y(x)=x.v(x) então dy=x.dv+v.dx. Assim, uma equação da forma y'=f(x,y) pode ser transformada em uma equação separável da forma:

x dv/dx + v = f(x,xv)

e após algumas mudanças obtemos uma equação com variáveis separáveis.

Exemplo: A EDO y'=(x²+y²)/xy pode ser transformada em uma EDO separável com y=xv e y'=x.v '+v, para obter a sequência de operações:

x v ' + v = (1+v²)/v
x v ' + v = 1/v + v
x v ' = 1/v
x dv/dx = 1/v
v dv = dx/x

Com a integração em ambos os membros, obtemos v²=2ln(x)+C, logo: y²=x²(2ln(x)+C).

Equações Exatas

Na sequência usaremos a notação M_x para a derivada parcial da função M=(x,y) em relação à variável x. Seja uma equação na forma diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Esta EDO será exata se existir uma função F=F(x,y) cuja diferencial exata dF=F_xdx+F_ydy coincide com o termo da esquerda da EDO:

M dx + N dy = 0

isto é:

dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy

Estudando propriedades de diferenciabilidade das funções M e N, podemos ter um outro critério para a garantia que esta equação é exata. Diremos que a equação Mdx+Ndy=0 é exata se:

M_y = N_x

Exemplos:

1. A forma diferencial 3x²y²dx+2x³ydy=0 é exata pois existe F(x,y)=x³y² cuja diferencial exata coincide com o membro da esquerda da equação dada. Outra forma de verificar isto é mostrar que M_y=N_x=6x²y.

2. A forma diferencial xdx+ydy=0 é exata.

3. A forma M(x)dx+N(y)dy=0 é exata.

4. A forma ydx-xdy=0 não é exata.

Equações Lineares

Seja uma equação diferencial da forma

a_o(x) y' + a₁(x) y = b(x)

Vamos considerar que todas as condições necessárias para que possamos resolver esta equação sejam satisfeitas.

O melhor que podemos fazer quando a_o(x) é não nula, é realizar a divisão de todos os termos da equação por a_o(x) para obter:

y' + p(x) y = q(x)

Um bom método para resolver esta equação de uma forma geral é multiplicar ambos os membros da equação por uma função M=M(x) (Fator Integrante) de tal modo que o termo da esquerda da nova equação:

M(x) y'(x) + M(x) p(x) y(x) = M(x) q(x)

seja a diferencial da função M(x)y(x), isto é:

d[M(x)y(x)] = M(x) y'(x) + M(x) p(x) y(x)

mas para que isto ocorra, a função M=M(x) deve satisfazer à condição:

M(x) y'(x) + M '(x) y(x) = M(x) y'(x) + M(x) p(x) y(x)

que é equivalente a M '(x)y(x)=M(x)p(x)y(x), mas se y(x) é não nulo, esta equação é equivalente à forma mais simples M '(x)=M(x)p(x).

Resolvendo primeiramente esta última equação diferencial, obteremos:

M(x) = exp[p(x) dx)]

Denotando a integral da função p=p(x) (minúscula) por P=P(x) (maiúscula), poderemos escrever a função multiplicadora por M(x) = exp[P(x)]. Multiplicando os membros desta equação por exp[P(x)], obteremos:

exp[P(x)] y' + p(x) exp[P(x)] y(x) = q(x) exp[P(x)]

O membro da esquerda é a derivada de y(x)exp[P(x)] em relação à variável x, assim podemos escrever:

d(y(x)exp[P(x)])/dx = q(x) exp[P(x)]

Integrando ambos os membros da igualdade, obteremos:

y(x)exp[P(x)]= q(x)exp[P(x)] dx + C

e dessa forma temos uma expressão para y=y(x):

y(x)= exp[–P(x)] (q(x)exp[P(x)] dx + C)

Exemplo: Para a EDO y'+2xy=x, p(x)=2x e q(x)=x, logo a solução depende de P(x)=x² e assim:

y(x) = exp(-x²) (exp(x²) xdx + C)

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y(x) = exp(-x²) [½ exp(x²) + C]

ou seja, a solução da EDO dada é:

y(x) = ½ + C exp(-x²)

Equações não lineares redutíveis a lineares

Obter soluções para equações diferenciais não lineares é difícil porém existem algumas equações que mesmo sendo não lineares, podem ser transformadas em equações lineares. Os tipos mais comuns de tais equações são:

Equação de Bernoulli: É uma equação diferencial não linear da forma

y' + p(x) y = q(x) yⁿ

Ao tomar a substituição w=y^1-n, observamos agora que w depende indiretamente da variável x e teremos a equação:

w ' + (1-n) p(x) w = (1-n) q(x)

que é uma EDO linear de primeira ordem.

Equação de Riccati: É uma equação diferencial não linear da forma

y' = p(x) + q(x) y + r(x) y²

Aqui, um fato grave é que não é possível resolver tal equação se não pudermos apresentar uma solução particular para a mesma, assim tomaremos y_p uma solução particular de

y' = p(x) + q(x) y + r(x) y²

e construiremos uma nova função z definida por:

z = 1/(y-y_p)

Com alguns cálculos simples, obtemos:

z ' + [q(x) + 2 y_p r(x)] z = r(x)

que é uma EDO linear na variável z. Após resolvida esta última, voltamos à variável original y, com a relação:

y = y_p + 1/z

Exemplos: Para resolver a equação de Riccati y'=-2-y-y², tomamos y(x)=2 que é uma solução particular para a EDO dada, faremos a substituição: z=1/(y-2) com y'=-z '/z², para obter a equação linear em z:

z ' + 3 z = -1

cuja solução é:

z(x) = -1/3 + C exp(-3x)

e com alguns poucos cálculos podemos voltar à variável y para obter a solução procurada.

Exercício: Resolver a EDO não linear 2xy.y'+(x-1)y²=x²exp(x), usando a substituição: y²=xz.

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