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Ensino Superior: Cálculo: Quanto vale zero elevado a zero?

A expressão matemática 0º é muitas vezes considerada como uma forma indeterminada em Matemática. Outras vezes esta expressão é considerada, por convenção, como sendo igual a 1. Por exemplo, ela aparece quando se calcula o limite:

Lim f(x)g(x)

quando x tende a 0 e Lim f(x)=Lim g(x)=0.

Uma forma indeterminada é o valor numérico que pode ser atribuído ao limite de uma função h=h(x) quando se substitui a variável x pelo valor numérico onde o mesmo será calculado, sem haver um trabalho mais aprimorado com a expressão envolvida com a função h=h(x).

As principais formas indeterminadas são:

0/0,  0.inf,  inf/inf,  1inf,  inf-inf   e  0º

onde inf significa "infinito".

Várias destas formas indeterminadas podem ser estudadas com o auxílio da Regra de L'Hôpital.

A função real f(x)=xx possui uma descontinuidade em x=0, razão pela qual não é óbvio que se tenha que

f(0) = Lim f(x) = Lim xx

quando x tende a 0.

Pode ser que, até mesmo este limite:

  1. seja determinado e igual a 1 (uma escolha natural),

  2. seja indeterminado, ou

  3. nem mesmo exista.

Quando estamos calculando

Lim f(x)g(x)

com x tendendo a 0 e lim f(x)=Lim g(x)=0, devemos fazer algumas exigências sobre as funções f e g.

Como a Regra de L'Hôpital tem íntima relação com o fato de uma f função ter desenvolvimento em série de potências (f ser analítica) em torno do ponto onde se calcula o limite, fica claro que quando esta propriedade é satisfeita nas vizinhanças deste ponto, então quase sempre é possível garantir que 0º=1.

Sem esta propriedade sobre o fato que a função deve ser analítica, nada podemos afirmar.

O fato citado acima pode ser observado se tomarmos a função definida por f(x)=exp(-1/x) se x>0 e f(x)=0 se x<0. (que não tem desenvolvimento em série de potências em torno de x=0) e g(x)=x.

Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas:

Lim f(x)g(x) = Lim [exp(-1/x)]x = 1/e = 0,3679...

que obviamente não é igual a 1.

Substituindo o número e de Euler por 2, obteremos um resultado diferente, significando que poderemos obter o limite que desejarmos, assim, este limite é indeterminado.

Concluímos que, se x tende a 0 e Lim f(x)=0=Lim g(x), o limite

Lim f(x)g(x) é indeterminado

e nem mesmo podemos afirmar que 0º possa ser 1.


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