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Ensino Superior: Cálculo: Limites de funções reais

O papel dos Limites de funções reais

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental.

O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, ...

Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível através de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limites e continuidade. Na verdade, este cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresentado no final) que é uma consequência do estudo de continuidade de funções.


Idéia Intuitiva de Limite

Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R-{1}setaR definida por:

f(x)=x²-1

x-1

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples:

f(x) = x + 1

Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).

Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x=1.

Pela esquerda de x=1
x00,50,80,90,990,9991
f(x)11,51,81,91,991,9992
Pela direita de x=1
x21,51,21,11,011,0011
f(x)32,52,22,12,012,0012

Neste caso, dizemos L=2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por:

Limx1 f(x) = 2

Este resultado pode ser visto através da análise gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:


Limite de uma função real

Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto x=c que pertence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que:

  1. O limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. Em símbolos:

    Limxc+ f(x) = Ld

  2. O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à esquerda de c) menores que c. Em símbolos:

    Limxc_ f(x) = Le

  3. Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz-se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld=Le=L. Com notações simbólicas, escrevemos:

    Limxc f(x) = L

    O que significa que, para qualquer e>0 e arbitrário, existe um d>0, que depende de e, tal que

    |f(x)-L|< e

    para todo x satisfizando 0 <|x-a|<d.

  4. No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão.

O próximo resultado afirma que uma função não pode se aproximar de dois limites diferentes ao mesmo tempo e ele é denominado o teorema da unicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único.


Unicidade do Limite: Se Lim f(x)=A e Lim f(x)=B quando x tende ao ponto c, então A=B.

Demonstração: Se e>0 é arbitrário, então existe d'>0 tal que

|f(x)-A| < e/2

sempre que 0<|x-a|<d'. Como também temos por hipótese que existe d">0 tal que

|f(x)-B| < e/2

sempre que 0<|x-a|<d" e tomando d=min{d',d"}>0, temos que:

|f(x)-A| < e/2  e  |f(x)-B| <e/2

sempre que 0<|x-a|<d e pela desigualdade triangular, temos:

|A-B| = |A-f(x)+f(x)-B| < |A-f(x)| + |f(x)-B|

e como e>0 é arbitrário, temos:

|A-B| < e

então |A-B| = 0, o que garante que A=B.


Exercício: Se |z|<e para todo e>0, mostre que z=0.


Limites Infinitos

Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamento numérico desta função através das tabelas abaixo.

Comportamento de f à esquerda de x=0
x-1-0,1-0,01-0,001-0,0001
f(x)-1-10-100-1000-10000

Quando x0, por valores maiores que zero (x0+) os valores da função crescem sem limite.

Comportamento de f à direita de x=0
x10,10,010,0010,0001
f(x)110100100010000

Quando x0, por valores menores que zero (x0_) os valores da função decrescem sem limite.

Observamos que próximo de x=0, o comportamento da função é estranho.

Baseado neste exemplo, podemos afirmar que quando x tende a 0 esta função não tem os valores se aproximando de um limite bem definido.


Ao analisar o comportamento numérico de f(x)=1/x², nas proximidades de x=0, observamos que:

Comportamento de f à esquerda de x=0
x1-0,1-0,01-0,001-0,0001
f(x)1100100001000000100000000

Comportamento de f à direita de x=0
x10,10,010,0010,0001
f(x)1100100001000000100000000

Observamos pelas tabelas, que se x0, por valores maiores ou menores do que 0, os valores da função crescem sem limite. Assim, podemos afirmar, por este exemplo que, quando x0 esta função tem os valores se aproximando de um limiar (inf=infinito=inf). Neste caso, dizemos que não existe o limite de f(x)=1/x² no ponto x=0, mas denotamos tal fato por:

Limxseta0 1/x²=+inf

Por causa desta notação costuma-se dizer que algumas funções têm limites infinitos e por causa deste limite, dizemos também que o gráfico desta função tem uma assíntota vertical, que é uma reta cuja equação é dada por x=0, neste caso.

Definição: Seja f uma função definida para todo x em I, exceto possivelmente no ponto x=a em I um intervalo aberto contendo a. Diz-se que f tem limite infinito, quando x se aproxima de a, o que é denotado por:

limxa f(x)=+inf

se, para todo número real L>0,existir um d>0 tal que se 0<|x-a|<d, então

f(x) > L

De modo similar, g(x)=-1/x² apresenta um gráfico com todos os valores da imagem no intervalo (-inf,0). O comportamento de g próximo de x=0 é similar ao de f(x)=1/x², porém os valores são negativos. Neste caso, dizemos que não existe limite no ponto x=0, no entanto representamos tal resultado por:

Limx0 -1/x²=+inf


Definição: Se o limite de f(x) tende a infinito, quando xa pela esquerda e também pela direita, dizemos que o limite de f(x), quando xa é infinito e escrevemos:

limxaf(x) = +inf

Analogamente, a expressão matemática:

limxaf(x)=-inf

significa que f(x) tende a -inf, se xa pela esquerda e também pela direita.


Limites no Infinito

Analisaremos agora o comportamento de h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente (xinf) ou quando x decresce arbitrariamente (x-inf).

Comportamento de h para x pequenos
x-1-10-100-1000-10000-100000
h(x)-1-0,1-0,01-0,001-0,0001-0,00001

Comportamento de h de h para x grandes
x110100100010000100000
h(x)10,10,010,0010,00010,00001

Pelas tabelas observamos que:

Limx+inf h(x) = 0
Limx-inf h(x) = 0

e quando construimos o gráfico de h, observamos que existe uma reta (assíntota) horizontal que é a reta y=0, que nunca toca a função mas se aproxima dela em +inf e em -inf.

Temos então uma definição geral, englobando tal situação:


Definição: Seja f uma função definida para todos os valores do intervalo (a,inf). Escrevemos:

quando, para todo e>0, existe um número real M>0 tal que |f(x)-L|<e sempre que x>M.

Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal.


Definição: Dizemos que a reta y=L é uma assíntota horizontal do gráfico de f se

   ou   


Propriedades dos limites

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos xa.

  1. Se f(x)=C onde C é constante, então

    Lim f(x) = Lim C = C

  2. Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então

    Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b

  3. Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:

    1. Lim(f ± g)(x) = [Lim f(x)] ± [Lim g(x)] = A ± B

    2. Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B

    3. Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A

    4. Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An

    5. Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.

    6. Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)

  4. Se acontecer uma das situações abaixo:

    1. Lim f(x) = 0

    2. Lim f(x)>0 e n é um número natural

    3. Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar

    então


Observações sobre as propriedades:

  1. As propriedades que valem para duas funções, valem também para um número finito de funções.

  2. As propriedades 3-a, 3-b e 3-e estabelecem que se existem os limites das parcelas, então, existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.

Teorema do anulamento: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim g(x)=0, quando xa, então:

Lim f(x)·g(x) = 0

Este resultado útil para podermos obter cálculos com limites.


Teorema do Confronto (regra do sanduiche): Se valem as desigualdades f(x)<g(x)<h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x=a e se

Lim f(x) = L = Lim h(x)

então:

Lim g(x) = L


Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades:

cos(x) < sen(x)/x < 1

então, quando x0:

1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1


Observações: Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites, são válidas também para limites laterais e para limites no infinito.

Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas, que são denominadas expressões indeterminadas,

nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso.


Um Limite Fundamental

Estudaremos agora um limite fundamental que é utilizado na obtenção da derivada da função seno.

Limx0sen(x)/x = 1

A derivada da função f(x)=sen(x) no ponto x=a, pode ser obtida pelo limite

f'(a)=Limxa (sen(x)-sen(a))/(x-a)

mas

sen(x)-sen(a) = 2 sen[(x-a)/2].cos[(x+a)/2]

então

f'(a)=Lim 2 sen[(x-a)/2].cos[(x+a)/2]/(x-a)
f'(a)=Lim cos[(x+a)/2].sen[(x-a)/2]./[(x-a)/2]

Com x=a+2u, reescreveremos a última expressão como:

f'(a)=Lim cos(a+u).sen(u)/u=Lim cos(a+u).Lim sen(u)/u

e quando u0, segue que:

f'(a)=cos(a)

De um modo geral, a derivada da função seno é a função cosseno e escreveremos:

sen'(x) = cos(x)


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