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Ensino Superior: Cálculo: Aplicações da integral definida
Volumes de sólidos de revolução


Curva descrita por y=f(x) em torno de OX

Considerando uma curva suave C descrita por y=f(x) (não negativa no intervalo [a,b]), o volume V(S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo OX no intervalo [a,b] é dado por:

V(S)=pib
int
a
f2(x) dx


Curva descrita por x=g(y) em torno de OX

Considerando uma curva suave C descrita por x=g(y), (não negativa no intervalo [c,d] e não cortando o eixo OX), o volume V(S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva parametrizada C em torno do eixo OX com x em [c,d] é dado por:

V(S)=2pib
int
a
y g(y) dy


Curva parametrizada f(t)=(x(t),y(t)) em torno de OX

Se uma curva suave C é descrita por f(t)=(x(t),y(t)) (y=y(t) não negativa em [t',t"]), o volume V(S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva parametrizada C em torno do eixo OX com o parâmetro t no intervalo [t',t"] é dado por:

V(S)=2pit"
int
t'
x(t) y(t) y'(t) dt


Curva descrita por x=g(y) em torno de OY

Se uma curva suave C é descrita por x=g(y) (não negativa em [c,d], o volume V(S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo OY no intervalo [c,d] é dado por:

V(S) = pid
int
c
g2(y) dy


Curva descrita por y=f(x) em torno de OY

Se uma curva suave C é descrita por y=f(x), (não negativa no intervalo [a,b] e não cortando o eixo OY), o volume V(S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva parametrizada C em torno do eixo OY com x em [a,b] é dado por:

V(S) = 2 pib
int
a
x f(x) dx


Curva parametrizada f(t)=(x(t),y(t)) em torno de OY

Se uma curva suave C é parametrizada por f(t)=(x(t),y(t)) (x=x(t) não negativa em [t',t"]), o volume V(S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva parametrizada C em torno do eixo OY com t em [t',t"] é dado por:

V(S) = 2pit"
int
t'
x(t) y(t) x'(t) dt

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