Material dirigido a pessoas que já conhecem o Cálculo Integral. Caso não conheça, sugiro que visite o nosso link Integrais de Funções Reais, onde você poderá aprender os principais conceitos sobre este assunto. Os procedimentos matemáticos que apresentamos, são acompanhados por exemplos ilustrativos.

Rⁿ[a] significará a raiz n-ésima de a>0 e R[a] significará a raiz quadrada de a>0. Esta notação é mais significativa que a do sinal de raiz e Pi==3,14159265359...

Propriedades das curvas planas

Uma curva plana pode ser descrita por algumas formas, como por exemplo:

Forma	Expressão	Exemplo	Intervalo
cartesiana	y = f(x)	y = x²	x[-1,1]
cartesiana	x = g(y)	x = y4	y[0,16]
paramétrica	f(t)=(x(t),y(t))	f(t)=(cos(t),sen(t))	t[0,2]
polar	r=r(t) ou t=t(r)	r=2 cos(t)	t[0,2]

Observações gerais sobre curvas planas:

1. y=R[r²-x²], x[-r,r] é uma descrição para a parte da circunferência localizada no semi-plano cartesiano superior.

2. y=-R[r²-x²], x[-r,r] é uma descrição para a parte da circunferência localizada no semi-plano cartesiano inferior.

3. x=cos(t), y=sen(t), t[0,2] é uma descrição para toda a circunferência x²+y²=r² no plano cartesiano.

4. Se uma curva C é obtida pela reunião das curvas y=R[x] e y=-R[x], ela não é uma função da variável x definida sobre o intervalo [0,4], mas podemos tomar a função inversa x=y² com a variável y em [-16,16] e pensar a curva original como se estivesse rodada de 90 graus em relação aos eixos do sistema cartesiano. Assim, podemos escrever a curva C como função de y.

Momento Ixx para a curva plana descrita por y=f(x)

Se a curva é descrita por y=f(x), o momento de inércia da curva em relação ao eixo OX, denotado por Ixx, é dado por:

Ixx =	x" x'	f²(x) R[1+(f'(x))²] dx

Exemplo: Seja x²+y²=a² o arco de circunferência de raio a no 1o. quadrante com x[0,a]. Com f(x)=R[a²-x²], obtemos f'(x)=-x/R[a²-x²] e segue que:

Ixx =	a 0	(a²-x²) R[1+x²/(a²-x²)] dx = a³ /4

Momento Ixx para a curva plana descrita por x=g(y)

Se a curva é descrita por x=g(y), o momento de inércia da curva em relação ao eixo OX, denotado por Ixx, é dado por:

Ixx =	y" y'	y² R[1+(g'(y))²] dy

Exemplo: Seja x²+y²=a² a semi-circunferência de raio a no semi-plano x>0 e y[-a,a]. Com g(y)=R[a²-y²], obtemos g'(y)=-y/R[a²-y²]. Segue que:

Ixx =	a -a	y² R[1+y²/(a²-y²)] dy = a³ /2

Momento Iyy para a curva plana descrita por y=f(x)

Para a curva descrita por y=f(x), o momento de inércia da curva em relação ao eixo OY, denotado por Iyy, é dado por:

Iyy =	x" x'	x² R[1+(f'(x))²] dx

Exemplo: Seja 4x+y-2=0 o segmento de reta no 1o. quadrante com x[0,1/4]. Se f(x)=2-4x, então f'(x)=-4 e temos:

Iyy =	¼ 0	R[17] x² dx

Momento Iyy para a curva plana descrita por x=g(y)

Para a curva descrita por x=g(y), o momento de inércia da curva em relação ao eixo OY, denotado por Iyy, é dado por:

Iyy =	y" y'	g²(y) R[1+(g'(y))²] dy

Exemplo: Seja 4x+y-2=0 o segmento de reta no 1o. quadrante com y[0,2]. Se g(y)=(2-y)/4, então g'(y)=-¼ e segue que:

Iyy =	2 0	R[17]/16 (2-y)² dy = R[17]/6

Momento Ixy para a curva plana descrita por y=f(x)

Para a curva descrita por y=f(x), o produto de inércia da curva, denotado por Ixy=Iyx, é dado por:

Ixy = Iyx =	x" x'	x f(x) R[1+(f'(x))²] dx

Exemplo: Seja x²+y²=a² o arco de circunferência de raio a no semi-plano superior com x[-a,a]. Vamos tomar f(x)=R[a²-x²], para obter f'(x)=-x/R[a²-x²] e ter:

Ixy = Iyx =	a -a	x R[a²-x²] R[1+x²/(a²-x²)] dx = 0

Momento Ixy para a curva plana descrita por x=g(y)

Para a curva descrita por x=g(y), o produto de inércia da curva, denotado por Ixy=Iyx, é dado por:

Ixy = Iyx =	y" y'	y g(y) R[1+(g'(y))²] dy

Exemplo: Seja (x-a)²+(y-a)²=a² a circunferência de raio a no primeiro quadrante e tangente aos eixos OX e OY. Esta curva não representa uma função x=g(y), logo ela será decomposta em duas funções:

x = g₁(y) = a+R[a²-y²]
x = g₂(y) = a-R[a²-y²]

Temos que:

g₁'(y) = –(y-a)/R[a²-(y-a)²]
g₂'(y) = +(y-a)/R[a²-(y-a)²]

Calcularemos Ixy com a soma das duas integrais I₁ e I₂.

I1=	2a 0	y(a+R[a²-y²])R[1+(y-a)²/(a²-(y-a)²)]dy=a³(+1)
I2=	2a 0	y(a–R[a²-y²])R[1+(y-2)²/(a²-(y-2)²)] dy=a³(–1)

Dessa forma, Ixy=I₁+I₂ = 2a³.

Momento de inércia polar Io de uma curva plana

O momento de inércia polar de uma curva, denotado por Io, pode ser calculado em função dos momentos de inércia da curva em relação aos eixos OX e OY, respectivamente denotados por Ixx e Iyy, através de Io=Ixx+Iyy.

Exemplo: Seja (x-a)²+(y-a)²=a² a circunferência de raio a que é tangente aos eixos OX e OY, localizada no primeiro quadrante. Esta curva não é uma função, mas no intervalo [0,2] ela pode ser decomposta na reunião de duas funções:

y = f₁(x) = a + R[a²-(x-a)²]
y = f₂(x) = a – R[a²-(x-a)²]

Temos que:

f₁'(x) = –(x-a)/R[a²-(x-a)²]
f₁'(x) = +(x-a)/R[a²-(x-a)²]

Calcularemos Ixx como a soma de duas integrais I₁ e I₂.

I1=	2a 0	(a+R[a²-(x-a)²])².R[1+(x-a)²/(a²-(x-a)²)] dx
I2=	2a 0	(a–R[a²-(x-a)²])².R[1+(x-a)²/(a²-(x-a)²)]dx

I₁=(3/2)a³+4a³ e I₂=(3/2)a³–4a³ e dessa forma obtemos Ixx=I₁+I₂=3a³ e de forma análoga, obtemos Iyy=3a³ e concluímos que I_o=Ixx+Iyy=6a³.

Alguns casos especiais

Objeto	Segmento horizontal	Segmento inclinado	Circunferência	Semi circunferência
Curva	y=0, 0<x<L	y=tg(a).x, a=ângulo	(x-r)²+(y-r)²=r²	(x-r)²+y²=r², y>0
Comprimento	s	s	2r	r
Momento Mx	0	½ s² sen(a)	2r²	2r²
Momento My	½ s²	½ s² cos(a)	2r²	2r²
Abscissa: x	½ s	½ s cos(a)	r	r
Ordenada: y	0	½ s sen(a)	r	2r/
Momento Ixx	0	s³ sen²(a)	3r³	(/2)r³
Momento Ixy	0	(1/6)s³sen(2a)	2r³	2r³
Momento Iyy	(1/3)s³	(1/3)s³cos²(a)	3r³	(3/2)r³

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