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Ensino Superior: Cálculo: Derivadas de Funções (II)

Regras de Derivação

Nem sempre devemos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.


Regras gerais para derivadas de funções

  1. Multiplicação por escalar

    (kf) '(x) = k f '(x)

  2. Soma de funções

    (f+g) '(x) = f '(x) + g '(x)

  3. Diferença de funções

    (f–g) '(x) = f '(x) – g '(x)

  4. Produto de funções

    (f.g) '(x) = f(x).g '(x) + f '(x).g(x)

  5. Divisão de funções, quando o denominador g=g(x) é não nulo, então

    Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.


Exercício: Determinar as regras de derivação para as funções:

  1. w(x)=f(x)+g(x)+h(x)

  2. w(x)=f1(x) +...+ fn(x)

  3. w(x)=f(x) × g(x) × h(x)

  4. w(x)=f1(x) ×...× fn(x)

  5. w(x)=f(x) × g(x) ÷ h(x)


Regra da cadeia

As regras já apresentadas permitem derivar funções que podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas, como por exemplo, f(x)=(4x+1)100 pois, é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta.


Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto u=g(x), então a função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por:

h '(x) = f '(g(x)) g '(x)

Uma notação muito utilizada é:


[f(u(x))] ' = f '(u) u '(x)

Outras notações comuns, como y=h(x)=f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), nos dão as expressões equivalentes:

Dxy = Duy Dxu,    yx = yu ux,    


Exemplo: Para f(x)=(4x+1)100, tomamos u(x)=4x+1 e v(u)=u100 para escrever f(x)=v(u(x)) e pela regra da cadeia:

f '(x) = [v(u(x))] ' = v '(u(x)) u '(x)

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f '(x) = 400 u99 = 400(4x+1)99


Derivada da função inversa: Seja y=f(x) uma função inversível, derivável em um ponto x tal que a derivada de f não se anula e g(y)=g(f(x)) é a função inversa de f. Então g é derivável em y=f(x) e a derivada de g é dada por:

g '(y) = 1/f '(x)

Este resultado é uma aplicação imediata da regra da cadeia, pois se g é a inversa de f, temos que x=g(f(x)) e derivando em relação à variável x em ambos os membros da igualdade, teremos:

1 = g '(f(x)) f '(x) = g '(y) f '(x)


Exemplo: Seja a função real definida por y=f(x)=x²+3x. Mostrar que a derivada da função inversa de f=f(x) é dada por:

g '(y) = 1/(2x+3)


Derivada de potência de função: Se f(x)=[u(x)]p onde u=u(x) é uma função derivável e p é um número real, então

f '(x) = p [u(x)]p-1 u '(x)


Exemplo: Seja f(x)=[sen(2x)]7, definida para x real. Mostrar que a derivada, é dada por:

f '(x) = 14 [sen(2x)]6cos(2x)


Derivadas de função elevada a outra função: Se f(x)=[u(x)]v(x), onde u e v são funções deriváveis num intervalo I da reta real e para todo x no intervalo I, se tem que u(x)>0, então:

f '(x) = u(x)v(x)[(v(x).u '(x)/u(x)) + v '(x).ln(u(x))]

ou sem a variável x, como:

f ' = uv [v u '/u + v ' ln(u)]


Exemplo: Seja f(x)=xx, definida para x>0. Mostrar que a derivada, é dada por:

f '(x) = xx [1 + ln(x)]


Projeto para um trabalho

  1. Construir a circunferência x²+y²=1 e a hipérbole canônica x²–y²=1;

  2. Na circunferência, identificar o seno, o cosseno e a tangente;

  3. Na hipérbole, identificar o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico;

  4. Definir o seno hiperbólico, o cosseno hiperbólico e a tangente hiperbólica em função das funções exponenciais f(x)=exp(x) e g(x)=exp(–x);

  5. Apresentar uma série de identidades trigonométricas circulares clássicas;

  6. Apresentar uma série de identidades trigonométricas hiperbólicas;

  7. Obter as derivadas das funções seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica, comparando os resultados obtidos com as derivadas de seno, cosseno e tangente circulares.


Derivadas de Ordem Superior

Seja f uma função derivável. Se f ' também for derivável, então a derivada de f ' é denominada derivada segunda de f e é representada por f” (f duas linhas). Se f" é uma função derivável, a sua derivada dada por f ' ' ', é denominada derivada terceira de f. A derivada de ordem n dada por f(n) é obtida pela derivada da derivada de ordem n-1 de f. Algumas notações para algumas derivadas de ordem superior:

f(n) = Derivada de ordem n da função f
f(o) = Derivada de ordem zero para f


Derivadas de funções Implícitas

As funções abordadas até agora, foram sempre apresentadas na forma explícita y=f(x) em que podemos determinar y em termos de x. Por exemplo, y=f(x)=esen(x) pode ser derivada pelas regras comuns. Muitas vezes, trabalhamos com equações em x e y, como por exemplo:

x² + y² = 1   ou   xy + sen(xy) = 3

onde nem sempre se pode explicitar para a variável y ser definida em função de x. As equações acima, definem relações entre y e x, mas nem sempre se pode definir y como uma única função de x. Assim, poderemos explicitar y na primeira, porém não explicitaremos y na segunda, por ser impossível.


Para x²+y²=1, duas soluções possíveis são:


e obtemos as derivadas pelos processos comuns.

No caso em que temos xy+sen(xy)=3, não é possível extrair o valor de y em função de x e isto nos força a pensar na possibilidade da existência da derivada f ', mesmo que não exista uma função y=f(x).

Construiremos outro processo que nos poupe trabalho. Não trabalharemos agora com a função xy+sen(xy)=3, por ser muito complicada, mas tomaremos a relação: x²+y²=1. Admitindo que existe y=f(x) definida implicitamente com x em algum intervalo real I, tal que f possua derivada neste intervalo, então para cada x em I, poderemos escrever:

x² + f²(x) = 1

Derivando ambos os membros da igualdade em relação a x, obtemos:

2x + 2 f(x) f '(x) = 0

Temos então uma relação entre x, f e f ', dada por:

f '(x) = –x/f(x)

desde que f(x) seja diferente de zero no ponto sob consideração, assim:


Exercício: Derivar implicitamente a função y=f(x), definida pela relação:

x3y + x²y² + x + y + xy3 = 6


Regra de L'Hôpital

A regra de L'Hôpital apresenta um método geral para levantar indeterminações de limites dos tipos 0/0 ou infinito/infinito. Esse método é dado pelo:

Teorema (L'Hôpital): Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo I=(a,b), exceto possivelmente no ponto a de I. Se para todo x diferente de a em I, a derivada de g não se anula, Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando xsetaa, e, além disso

Lim
xsetaa
f '(x)
g '(x)
= L

então, também temos que

Lim
xsetaa
f(x)
g(x)
= L

Exemplo: Para obter o limite

L = Lim
xseta0
sen(x)
x

usamos a Regra de L'Hôpital. Derivamos as funções do numerador e do denominador (não é a derivada do quociente!) e calculamos o novo limite. Dessa forma:

L = Lim
xseta0
sen(x)
x
= Lim
xseta0
cos(x)
1
= 1

O teorema acima continua válido para limites laterais e limites no infinito, definindo f e g em intervalos adequados. É válido também se ao invés do número L, o limite for infinito. Quando temos formas indeterminadas, podemos reescrever as mesmas para poder aplicar a Regra de L'Hôpital.


Exemplo: Para obter o limite L=Lim[x.log(x)] quando xseta0, podemos escrever este limite na forma de uma fração e usar a Regra de L'Hôpital. Realmente,

L = Lim
xseta0
[x log(x)] =Lim
xseta0
log(x)
1/x
= Lim
xseta0
1/x
-1/x²
= Lim
xseta0
-x= 0

Fórmula de Taylor

A fórmula de Taylor é um método de aproximar uma função por um polinômio algébrico, com um erro que pode ser estimado. Se f é uma função real definida sobre um intervalo (a,b), f admitindo derivadas até a ordem n+1 em x=c de (a,b). O polinômio de Taylor de ordem n associado à função f em x=c, denotado por Pnf, é definido como:

Aqui Pn(c)=f(c). Dado o polinômio de Taylor de grau n de uma função f, o resto Rn f(x) é a diferença entre f=f(x) e Pn f(x), isto é:

Rnf(x) = f(x) - Pnf(x)

Este resto é dado por

Rnf(x) =  f(n+1)(z)
(n+1)!
 (x-c)n+1

sendo que z é um número que está entre x e c. Esta última expressão é a forma de Lagrange para o resto.


Exercício: Obter o polinômio de Taylor de grau 10 da função real definida por f(x)=cos(x), desenvolvido em torno do ponto c=0.


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