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Ensino Superior: Cálculo: Derivadas de Funções (I)


Introdução ao conceito de derivada

Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura ao lado.

Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.

Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto P. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na segunda figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em mais ddo que um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no ponto Q.



A derivada do ponto de vista geométrico

Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f. xo e f(xo) serão as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, descrito por (xo+h,f(xo+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x).

A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto xo:

quoc


Se P é um ponto fixo e Q um ponto que se aproxima de P, ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,..., as secantes terão as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... e as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente.

Esperamos que a razão incremental, se aproxime de um valor finito k, à medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, independentemente do fato que a abscissa de Q seja maior ou menor do que a abscissa de P, mas isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto P, como sendo aquela que passa por P e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a k.


O recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0.

Se o resultado assume valores positivos (negativos), cada vez mais próximos de zero, isto significa que a sequência de pontos Qj está se aproximando do ponto P pela direita (pela esquerda).

Quando h0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por:

eq


O limite da razão incremental somente tem sentido se o mesmo existe. Neste caso, se a função f for contínua no ponto x=xo, então a reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)), será dada por:

y = f(xo) + k (x-xo)


Reta tangente a uma curva: Seja a parábola dada pela função f(x)=x². O coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto P=(1,1), é dado por:

eq

A reta tangente à curva y=x² em P=(1,1) é y=2x-1.



Derivada de uma função real

Quando hseta0 (h diferente de 0) e o quociente de Newton no ponto xo se aproxima de um valor finito k, dizemos que este número k é a derivada de f no ponto xo, denotando este fato por:

eq


desde que tenha sentido este limite. Se tal limite não existe, dizemos que não existe a derivada de f em xo. Se a função tem derivada em um ponto, dizemos que f é derivável (ou diferenciável) neste ponto.


Exemplo: A derivada da função f(x)=x³ no ponto x=1, é dada por:

eq

A derivada de f(x)=x³ no ponto genérico x=c, é dada por:

A derivada de f(x)=x³ é denotada por f '(x)=3x², pois


Reta normal ao gráfico de uma função: A reta normal a uma curva y=f(x) em um ponto P=(c,f(c)), é a reta perpendicular à reta tangente a curva neste ponto.

Como duas retas, com coeficientes angulares iguais a k' e k", são perpendiculares, se k'k"=-1, então, se k'=f '(c), o coeficiente angular da reta normal será:

k" = -1/f '(c)

e a reta normal será dada por

y = f(c) - (x-c)/f '(c)


Existem outras notações para a derivada de y=f(x) com relação a x, como y '(x), dy/dx, yx, Dxf, Dxy e a mais comum é:

dy
dx

Observações: Se existe o limite, podemos escrever a derivada de outras formas.

(a) Se xo é um ponto particular no domínio de f, então:

f '(xo) =  Lim
Deltaxseta0
f(xo+Deltax) - f(xo)
Deltax

(b) Se x=xo+Deltax na última expressão e tomarmos Deltaxseta0, obteremos outra expressão equivalente para a derivada:

f '(xo) =  Lim
xsetaxo
f(x) - f(xo)
x-xo

(c) Deltax=x-xo é a diferença na variável x para cada análise fixa e representa a variação da variável x quando fazemos uma análise do ponto de vista dinâmico. Por definição

dx = Deltax = x-xo
Deltay = Deltaf = f(x)-f(xo)



Diferencial de uma função f

Nem sempre a diferença exata Deltaf coincide com a variação dinâmica para f, definida como a diferencial de f, denotada por df. A diferencial de uma função contínua f no ponto xo é definida por:

df = f '(xo) dx

que pode ser justificada do ponto de vista geométrico. Já vimos que a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)) é:

y - f(xo) = f '(xo) (x-xo)


Realizamos uma translação de todo o sistema para um novo sistema de coordenadas, cuja origem passa a ser o ponto P=(xo,f(xo)).

Com dx=x-xo e dy=y-f(xo) temos um outro sistema em que as variáveis serão dx e dy, no lugar das variáveis antigas x e y. Indicando a nova curva transladada por y=f(x), teremos que a nova reta tangente a esta curva passará pela origem (0,0) do novo sistema.


A equação da reta tangente será dada por:

dy = f '(xo) dx

cuja inclinação coincide com a diferencial de f no ponto xo. A translação para a origem deste novo sistema, é essencial para entender o processo de linearização, fato muito comum na Matemática aplicada. Este processo informa que, ampliando bastante a vizinhança do ponto (xo,f(xo)) (com um zoom-in) nas vizinhanças do ponto P, obteremos praticamente duas retas se tangenciando, como podemos observar na figura, em anexo.



Aplicações da diferencial a cálculos aproximados

  1. Se o lado de um quadrado aumentar 3%, qual será o aumento aproximado da área do quadrado?

    Solução: A área do quadrado é dada por A(x)=x², assim a diferencial desta função será escrita como:

    dA = A '(x)dx = 2x dx

    pois A '(x)=2x e dx=3%=0,03. A área aumentará aproximadamente:

    dA = 2x (0,03) = 0,06 x = 6% de x


  2. Se a aresta de um cubo mede x=10cm, diminuir 3%, qual será a diminuição aproximada do volume deste cubo?

    Solução: O volume do cubo é dado por V(x)=x³, assim temos que V'(x)=3x² e a diferencial desta função será escrita como:

    dV = V '(x) dx = 3x² dx

    Como x=10 e dx=3%=0,03, o volume do cubo diminuirá aproximadamente:

    dV = 3 × 10² (0,03) = 9 cm³


  3. Um triângulo tem dois lados que medem 2m e 3m formando um ângulo de 60o. Se o equipamento que mede o ângulo comete um erro de 1%, qual será o erro aproximado no cálculo da área?

    Solução: Se a e b são as medidas dos lados de um triângulo que formam um ângulo medindo x, a área desse triângulo é dada por A(x)=½ ab sen(x). Assim:

    dA = ½ a b cos(x) dx

    Como x=60graus=(pi/3)rad, a=2m, b=3m e dx=1% de 1rad, então

    dA = ½ × 2 × 3 × cos(pi/3) × 0,01 = 0,015 m²



Derivadas Laterais

Como a derivada de uma função f em um ponto xo é um caso particular de limite, então tem sentido calcular os limites laterais abaixo, à esquerda e à direita em xo:

f '(xo-) =  Lim
xsetaxo-
f(x) - f(xo)
x-xo
  (x<xo)
f '(xo+) =  Lim
xsetaxo+
f(x) - f(xo)
x-xo
  (x>xo)

Quando tais limites existem, eles são, respectivamente denominados, derivada lateral de f à esquerda em xo e derivada lateral de f à direita no ponto xo. Se ambos os limites existem e são iguais, dizemos que f possui derivada no ponto xo.


Função modular: A função modular definida por f(x)=|x| tem derivada lateral à direita no ponto x=0 igual a +1 e derivada lateral à esquerda no ponto x=0 igual a -1, o que significa que tais derivadas laterais no mesmo ponto são diferentes. Para todo x não nulo, as derivadas laterais à esquerda e à direita coincidem.

A função real definida por g(x)=|x|³ tem derivadas laterais sempre iguais em cada ponto x do seu domínio, o que significa que esta função tem derivada em todos os pontos de R.



Diferenciabilidade e Continuidade

Existem funções que não têm derivada em um ponto, embora possam ter derivadas laterais à esquerda e à direita deste ponto e ser contínua neste ponto.

Exemplo: A função modular (valor absoluto) definida por f(x)=|x|, não tem derivada em x=0, mas:

(a) f é contínua em toda a reta;

(b) Derivada lateral à direita: f '(0+)=+1;

(c) Derivada lateral à esquerda: f '(0-)=-1.

Este exemplo mostra que a continuidade de uma função em um ponto não garante a existência da derivada da função neste mesmo ponto, mas a recíproca é verdadeira, isto é, a existência da derivada de f em um ponto, implica na continuidade de f neste ponto.


Observação: Um termo comum na literatura sobre derivadas é a palavra suave. Dizemos que uma função derivável em um ponto é suave nas vizinhanças deste ponto, motivado pelo fato que, se o gráfico da função possui um bico, como a função modular, por exemplo, este fato implica na existência de derivadas laterais diferentes, garantindo que a função não tem derivada neste ponto.



Derivadas de algumas funções

FunçãoDerivada
00
ax+ba
exp(x)exp(x)
sen(x)cos(x)
arcsen(x)R[1/(1-x2)]
tg(x)sec²(x)
sec(x)sec(x) tg(x)
arctg(x)1/(1+x²)
FunçãoDerivada
10
xnn xn-1
log(x)1/x
cos(x)-sen(x)
arccos(x)-R[1/(1-x²)]
cot(x)-csc²(x)
csc(x)-csc(x) cot(x)
arccot(x)???

onde R[z] representa a raiz quadrada de z>0.


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