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Ensino Superior: Cálculo: Volume em um cilindro deitado

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Vamos estudar aqui a solução de um problema comum em postos de gasolina ou locais com recipientes cilíndricos deitados. O problema visa calcular o volume do líquido contido no cilindro deitado com comprimento igual a L e altura do líquido h.

cilindro

Outro problema interessante que não será tratado aqui é o do cálculo do volume de um tanque cuja seção transversal corresponde a uma elipse em função da altura do líquido presente. Este último modelo matemático está relacionado com o cálculo do volume contido em um tanque de um caminhão.

Sugiro aos professores que acessam esta Home Page que proponham este segundo problema como um Projeto aos seus alunos de Cálculo, uma vez que são os mesmos procedimentos aqui utilizados que devem conduzir à resposta, porém a curva importante no caso será uma elipse e a mudança de variável dependerá dos parâmetros desta curva.

Nossa solução visa atender objetivos didáticos relacionados com o Cálculo Diferencial e Integral. Este problema será reduzido ao cálculo da área da região sombreada no círculo, uma vez que para este cilindro a área da seção transversal é sempre a mesma.

eq

Para o cálculo da área, usaremos o conceito de Integral de uma função real, assunto lecionado nas primeiras séries de cursos que têm a Matemática como essencial.

Primeiramente iremos construir a circunferência de raio r com centro no ponto (0,r) e identificaremos esta região sombreada como a região localizada dentro do círculo, acima da reta y=0 e abaixo da reta y=h, onde h é a altura do líquido. A equação da circunferência será dada por:

eq

A área da região sombreada será obtida pela integral definida:

eq

onde a função que está sob o sinal de integração, definida por

eq

tem por domínio o intervalo [0,2r]. A área será obtida pela integral:

eq

O cálculo desta integral não é simples para pessoas que desconhecem o Cálculo Integral mas nós o apresentaremos aqui pois estamos visando um público maior além de justificar a importância e aplicação prática da Trigonometria e do Cálculo Diferencial e Integral em situações não triviais.

Se quiser conhecer nossa "calculadora de volumes horizontais!", vá ao final desta página teclando Ctrl+End, para realizar Cálculos On-line.

Outro modo de abordar o problema é pelo uso das Regras Trapezoidal e de Simpson, que fornecem resultados aproximados bastante confiáveis. Estas regras são também aplicações do Cálculo Diferencial e Integral.

Calcularemos a integral indefinida, sem usar a constante de integração, pois no trabalho com a integral definida esta constante é dispensável.

Com a substituição y=r+rsen(u), obtemos uma forma mais fácil para a integral. Tal substituição provém do triângulo retângulo tendo a hipotenusa com medida igual a r e o cateto oposto ao argumento u, com medida igual a y-r.

tri

Dessa forma, fica fácil obter o cosseno do argumento u com a relação fundamental da Trigonometria:

cos2(u) + sen2(u) = 1

e com esta relação, obtemos:

eq

Como y=r+r.sen(u) e dy=r.cos(u).du, poderemos substituir estas informações na integral indefinida abaixo, para obter:

eq

ou seja

eq

e voltando às variáveis originais, temos:

eq

Temos então a "fórmula" que fornece a área em função da altura h e do raio r do cilindro, obtida em função desta última integral.

eq

O volume de líquido é obtido pela multiplicação de A(h) por L, isto é:

Volume = A(h) × L

Este problema envolve uma situação prática que para a sua resolução necessita de uma série de assuntos da Matemática, alguns dos quais não ensinados nos dois primeiros níveis iniciais de Ensino, o que valoriza o curso superior e em especial o Cálculo Diferencial e Integral em contextos da vida, mostrando para muitas pessoas porque a Matemática deve também ser estimulada em função de sua utilidade.

Cálculos On-line em um cilindro deitado
Entre com a altura h do líquido, o raio r e o comprimento L nas caixas próprias para obter a área sombreada e o volume. Clique no botão Calcular. A área estará em cm² e o volume em dm³. 1 dm³ de água corresponde à capacidade aproximada de 1 litro.
fig1  fig2
r= L= h=<diâmetro
   
Área:cm2  Volume:dm3

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