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Ensino Superior: Somas de potências dos n primeiros naturais

"Porque na muita sabedoria há muito enfado; e o que aumenta o conhecimento aumenta a tristeza."
Eclesiastes 1:18 A Bíblia Sagrada

Definição de Sequência de números reais

Tomaremos N={1,2,3,4,5,6,...} o conjunto dos números naturais. Uma sequência de números reais é uma função f:NR que associa a cada número natural n um único número real, escrito na forma f(n)=un.

Exemplos de sequências reais: fo(n)=1, f1(n)=n, f2(n)=n², f3(n)=n³ e f4(n)=n4.


Outras notações para sequências

Muitas vezes tais sequências são indicadas, respectivamente, pelos conjuntos que representam as imagens dessas (funções) sequências, como por exemplo:

  1. So = {1, 1, 1, 1, 1, 1, ... } = fo(N)

  2. S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } = f1(N)

  3. S2 = {1, 4, 9, 16 , 25, ... } = f2(N)

  4. S3 = {1, 8,27, 64,125,... } = f3(N)

  5. S4 = {1,16,81,256,625,...} = f4(N)

Outra representação para tais sequências é a que indica a posição relativa ocupada pelo número real no conjunto imagem da referida função. Por exemplo, a sequência definida pela função f3, pode ser escrita como:

u1=1,u2=8,u3=7,u4=64,u5=125,...,un=n³,...

Somas de termos de sequências

Um problema que aparece ligado a sequências é o que visa obter a soma dos n primeiros termos de uma sequência de números reais.

Tal problema não é simples de uma forma geral, mas existe um processo muito interessante do ponto de vista didático para obter a soma das n primeiras potências dos números naturais.

Apresentaremos um processo gradual para mostrar como calcular as Somas das potências:

  1. de ordem 0 dos n primeiros naturais

  2. de ordem 1 dos n primeiros naturais

  3. de ordem 2 dos n primeiros naturais

  4. de ordem 3 dos n primeiros naturais

  5. de ordem 4 dos n primeiros naturais

Com o estudo de sequências recursivas, é possível construir fórmulas que fornecem as somas em cada caso. Não apresento as demonstrações das fórmulas, uma vez que é exatamente o corpo do último assunto tratado nesta página.


#0: Soma de n termos constantes iguais a 1

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Consideremos inicialmente o problema de obter a soma das potências de (expoente 0) dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar o número 1, n vezes, isto é:

Sn= 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (n vezes)

Você diria: "Essa é fácil e a resposta é Sn=n". Neste caso você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ensinar um método que funciona para outras potências mais altas. Vale a pena andar com os pés no chão quando se trata de assunto educacional.

Na área da Matemática, muitos têm verdadeiro horror por causa de péssimos professores que "espantam" os alunos do real objetivo da Matemática, que é propiciar a ampliação cultural e intelectual do indivíduo de uma forma firme e agradável e não através de uma infinidade de operações de cálculos que conduzem a absolutamente nada e muitas vezes sem justificativas!

Consideraremos uma fórmula, que neste caso, será dada por:

Sn= Bo + B1(n-1)

Para n=1 obtemos Bo=S1 e para n=2 obtemos Bo+B1=S2. Estas duas relações podem ser escritas na forma de um sistema matricial:

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A resolução do sistema acima com 2 equações e 2 incógnitas nos fornece os resultados: Bo=B1=1, e, substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos:

Sn= 1 + 1(n-1) = n

que era a resposta antecipada para o problema.


#1: Soma dos n primeiros números naturais

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Consideremos agora o problema de obter a Soma das potências de ordem 1 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os n primeiros números naturais, isto é:

Sn= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

Antes de continuar, apresentaremos um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855): Considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Foi uma criança prodígio e frequentou a escola em Brunswick. Aos 10 anos de idade, Gauss teve um professor exigente que um dia, visando manter a classe ocupada, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 até 100 com a instrução para que todos os alunos colocassem a sua lousa sobre a mesa, tão logo a tarefa estivesse terminada.

Quase imediatamente Gauss colocou a sua lousa sobre a mesa, dizendo: Aí está. O professor olhou para Gauss com pouco caso enquanto os outros trabalhavam, e, quando o mestre finalmente se interessou em ver os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta certa 5050, sem nenhum cálculo.

O menino calculou a soma pondo-a na forma invertida e observando que a soma do primeiro com último dava 101, que a soma do segundo com o penúltimo também dava 101 e assim sucessivamente:

S=1+2+3+...+98+99+100
S=100+99+98+...+3+2+1
2S=101+101+101+...+101+101+101

o que significa somar 100 vezes o número 101, o que também pode ser escrito como:

2S= 101 x 100 = 10100

assim

S= 5050

"Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter:

Sn=n(n+1)/2

De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras potências mais altas.

A fórmula usada neste caso, é:

Sn= Bo + B1(n-1) + B2(n-1)²

Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta.

Para n=1, obtemos Bo= S1, para n=2 obtemos Bo+B1+B2=S2 e para n=3, obtemos Bo+2B1+4B2=S3, assim, essas equações podem ser escritas como um sistema na forma matricial:

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A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado, Bo=1, B1=3/2 e B2=1/2, e substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos:

Sn= 1 + (3/2).(n-1) + (1/2).(n-1)²

Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado:

Sn = n.(n+1)/2

Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem.


#2: Soma dos quadrados dos n primeiros naturais

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O problema agora é obter a soma das potências de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é:

Sn = 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n²

Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras potências mais altas.

A fórmula usada aqui é:

Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)³

Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta.

Para n=1 obtemos

Bo=S1

para n=2

Bo+B1+B2+B3=S2

para n=3

1Bo+2B1+4B2+8B3=S3

e para n=4

1Bo+3B1+9B2+27B3=S4.

Este sistema de equações pode ser posto na forma matricial:

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A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado:

Bo=1, B1=13/6, B2=3/2 e B3=1/3

e substituindo estas constantes na fórmula, obtemos:

Sn = 1+13(n-1)/6 +(3/2)(n-1)²+(1/3)(n-1)³

Desenvolvendo esta expressão, obtemos finalmente:

Sn = n(n+1)(2n+1)/6


#3: Soma dos cubos dos n primeiros naturais

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Consideremos agora o problema de obter a soma das potências de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é:

Sn = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ... + n³

Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior.

Neste caso, a fórmula é dada por:

Sn = Bo+B1(n-1)+B2(n-1)²+B3(n-1)³+B4(n-1)4

Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta.

O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas, que pode ser escrito na forma matricial:

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A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula geral, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais.


Projeto: Soma dos quárticos dos n primeiros naturais

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Consideremos agora o problema de obter a Soma das potências de ordem 4 dos n primeiros naturais.

Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4

Pode-se usar aqui a fórmula:

Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)²+B3(n-1)³
+B4(n-1)4+B5(n-1)5

Seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e você deverá obter as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6.

Observar as seguintes mudanças que ocorreram de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso:

Linha 1Permaneceu a mesma
Linha 2O número 1 é elevado às potências 0,1,2,3,4, ...
Linha 3O número 2 é elevado às potências 0,1,2,3,4, ...
Linha 4O número 3 é elevado às potências 0,1,2,3,4, ...
Linha 5O número 4 é elevado às potências 0,1,2,3,4, ...
Linha 6Está na hora de desconfiar!
Obs. 7A matriz das constantes que serão determinadas, conterá tantas linhas quanto a potência considerada + 1 unidade, isto é: B0, B1, B2, B3, B4 e B5.
Obs. 8Depois do sinal de igualdade, estará a matriz das somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6.
Obs. 9A resolução do sistema pode ser realizada por muitas formas diferentes para obter os coeficientes: Bo, B1, B2, B3, B4 e B5.
Obs.10Importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada.

Projeto: Soma das k-ésimas potências dos primeiros números naturais.

Sn=1k +2k +3k +4k +...+ nk


Projeto: Pesquisar fórmulas comuns a este trabalho

Como um trabalho de pesquisa, descubra fórmulas semelhantes a estas apresentadas neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Sugiro que procure em textos que tratem sobre sequências recursivas.


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