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Ensino Superior: Álgebra: Relações

"E apliquei o meu coração a inquirir e a investigar com sabedoria a respeito de tudo quanto se faz debaixo do céu; essa enfadonha ocupação deu Deus aos filhos dos homens para nela se exercitarem."
Eclesiastes 1:13 A Bíblia Sagrada

Introdução às relações

Tomemos dois conjuntos A={a,b,c} e B={r,s} relacionados de algum modo, associando o valor aemA ao valor remB, aemA ao valor semB, bemA ao valor semB e cemA ao valor remB.

relacao

Para escrever que os elementos de A estão associados com os elementos de B da forma citada acima, usamos um modo para fazer isto através de um objeto matemático denominado relação, indicada por R e escrita na forma de um conjunto de pares ordenados:

R = {(a,r),(a,s),(b,s),(c,r)}

A definição seguinte sintetiza tudo.

Relação

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma relação R de A em B, é qualquer subconjunto de A×B (produto cartesiano), isto é, R é um conjunto tal que: RsubA×B. Se A=B, dizemos relação em A ao invés de dizer relação de A em A.


Exercício: Construir um diagrama para a relação R em A={a,b,c} dada por

R={(a,b),(b,c),(c,a),(c,b)}

Neste caso temos (a,b)emR que significa a está relacionado com b e que às vezes escrevemos aRb.


Exemplo: Consideremos S a relação formada pelo conjunto de todos os pares de números inteiros, definida por (a,b)emS se, e somente se, |a|+|b|=2.

Atribuímos valores para a e obtemos os correspondentes valores de b. Por exemplo, se a=1 então 1+|b|=2 ou seja |b|=1 implica que b=1 ou b=-1. Assim (1,1)emS e (1,-1)emS.

Analisando todas as possibilidades, obtemos

S={(-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),(0,2),(1,-1),(1,1),(2,0)}


Propriedades das Relações

Se A é um conjunto não vazio e R é uma relação em A, podemos explorar as seguintes situações:

  1. Reflexividade: Se aemA, pode ser que aRa ou que a não esteja em relação com o próprio a. Se aRa para todos os elementos aemA, dizemos que R é uma relação reflexiva. Se não é verdade que aRa para todo aemA, diremos que R não é reflexiva.

  2. Simetria: Se aRb então pode ser que bRa ou não. Se para todo par (a,b)emR tivermos que aRb também implica que bRa, diremos que R é simétrica. Se existir algum par (a,b)emR tal que (b,a)notinR, então R não é simétrica.

  3. Transitividade: Se aRb e bRc, pode acontecer que aRc ou que (a,c)notinR. Se, para todo par (a,b)emR e para todo par (b,c)emR tivermos que (a,c)emR, diremos que R é transitiva. Para que R não seja transitiva, basta que exibir um par (a,b)emR e um outro par (b,c)emR tal que (a,c)notinR.

  4. Anti-simetria: Se (a,b)emR, pode ocorrer que (b,a)emR ou que (b,a)emR. Se (a,b)emR com adifb implicar que (b,a)emR, diremos que R é anti-simétrica. Para que R não seja anti-simétrica, basta exibir dois pares (a,b)emR e (b,a)emR com adifb.

Exercício: Provar que R não é reflexiva se, e somente se, existe xemA que não está em relação com o próprio x, isto é, (x,x)notinR.


Outras propriedades interessantes: Irreflexiva, Assimétrica e Intransitiva. Elas aparecem em outras áreas da ciência, mas não trataremos sobre elas. Caso tenha interesse em estudar Teoria de Conjuntos, consulte o livro: "Teoria Intuitiva dos Conjuntos" com aplicações à Biologia, Abe e Papavero, Makron Books.


Relação de Equivalência

Uma relação de equivalência sobre o conjunto A é uma relação R que possui as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.


Exemplos:

  1. Seja R a relação definida no conjunto dos números reais por (x,y)emR se, e somente se, |x|=|y|. Para todo número real x temos que xRx, pois |x|=|x|, garantindo que R é reflexiva. Se xRy então |x|=|y| e segue que yRx pois |y|=|x|, provando que R é uma relação simétrica. Se aRb e bRc, então |a|=|b| e |b|=|c|, então |a|=|c|, ou seja aRc, logo R é transitiva. Concluímos que R é uma relação de equivalência.

  2. Seja cong a relação em Z definida por acongb(5) se, e somente se, 5|(a-b) que deve ser lida como: 5 divide a-b. Observamos que 6cong1(5) pois 5|(6-1) e que também 23cong2(5) porque 5|(23-2). É claro que para todo xemZ temos xcongx(5) pois 5|0=x-x. Se xcongy(5) então ycongx(5) pois a primeira expressão significa 5|(x-y) e a segunda significa que 5|(y-x). Se a primeira é verdadeira, então a segunda também o será. Observe que x-y e y-x somente diferem no sinal. Se acongb(5) e bcongc(5) então 5|(a-b) e 5|(b-c) então 5|(a-b)+(b-c) ou seja 5|(a-c), portanto a relação cong é transitiva e temos aqui outra relação de equivalência.

  3. Seja R a relação definida no plano cartesiano por (a,b)R(c,d) se, e somente se, a²+b²=c²+d². Se (x,y) é um par ordenado tal que (x,y)R(3,4), então x²+y²=3²+4²=25 o que significa que devemos obter pontos (x,y) na circunferência com raio 5, centrada na origem (0,0). Um desses pontos é (5,0). Obtenha muitos outros pontos com esta propriedade.

    Vale a propriedade reflexiva, pois (x,y)R(x,y) significa que x²+y²=x²+y² o que é verdadeiro.

    Se (a,b)R(c,d) então a²+b²=c²+d², então c²+d²=a²+b² o que garante que (c,d)R(a,b). R é uma relação simétrica.

    Se (a,b)R(c,d) e (c,d)R(m,n) então a²+b²=c²+d² e c²+d²=m²+n² ou seja a²+b²=m²+n², isto é, (a,b)R(m,n) e assim R é transitiva.

  4. Uma relação de equivalência em um conjunto é um tipo de conceito matemático que está muito próximo de uma relação de igualdade. Vejamos um exemplo disso:

    Seja cong a relação em Q definida por a/bcongc/d se, e somente se, a×d=b×c (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos em uma proporção). Pode-se verificar que cong é uma relação de equivalência. Temos que 2/3cong6/9 mas muitas vezes afirmamos que 2/3=6/9.


Classes de Equivalência

Seja A um conjunto e ~ uma relação de equivalência sobre A. Para cada aemA podemos construir o conjunto de todos os elementos xemA que são equivalentes ao elemento aemA. Indicaremos tal conjunto por [a], isto é:

[a]={xemA: x~a}

O conjunto [a] nunca é vazio, pois a propriedade reflexiva garante que aem[a]. O conjunto [a] é denominado classe de equivalência de a, que também pode ser denotada por cl(a) ou com uma barra sobre a letra a.


Exemplos: No Exemplo 1, segue que:

[2]={-2,2}, [0]={0}, [t]={-|t|,|t|} se (tdif0)

No Exemplo 2, temos que

[2] = {xemZ: xcong2(5)} = {xemZ:5|(x-2)} =    
   ={xemZ:x-2=5t,temZ}={2+5t:temZ}=2+5.Z

Analogamente, por exemplo:

[4]=4+5.Z, [0]=0+5.Z=5.Z

Pode-se demonstrar que [5]=[0] e que, em geral, se a=5q+r então [a]=[r].

Neste caso, a coleção Z5 de todas as classes de equivalência é:

Z5 = { [0], [1], [2], [3], [4] }

No Exemplo 3, temos que

[(2,3)]={(x,y):(x,y)R(2,3)}={(x,y):x²+y²=13}

que é uma circunferência centrada em (0,0).

A classe [(3,4)] é a circunferência de raio 5 centrada em (0,0).

No Exemplo 4, temos:

[2/5]={a/bemQ:a/bcong2/5}={±2/5,±4/10,±6/15,…}


Exercícios

  1. Seja P={{1,2},{3,4,5},{6}} uma partição do conjunto X={1,2,3,4,5,6}. Se a,bemX, definimos a relação aRb se, e somente se, existe MemP com a,bemM. Mostrar que R é uma relação de equivalência e que as classes de equivalência são exatamente os elementos de P.

  2. Mostrar que a relação R formada por pares de números inteiros, definida por (a,b)R(c,d) se, e somente se, a+d=b+c é uma relação de equivalência. Determinar a classe do par ordenado (2,1).


Relação de Ordem

Uma relação de ordem R sobre um conjunto A é uma relação R que possui as propriedades reflexiva, anti-simétrica e transitiva.


Exemplos

  1. Seja R a relação em N definida por aRb se, e somente se, a<b. Para todo número natural a tem-se a<a e vale a propriedade reflexiva. Se a<b e b<c então a<c e vale a propriedade transitiva.

  2. Seja X um conjunto e P=P(X) o conjunto de todas as partes do conjunto X. Se MemP e NemP, definimos MRN se, e somente se, MsubN. R é uma relação de ordem.

  3. Seja uma relação D sobre o conjunto N dos números naturais tal que (a,b)emD se, e somente se, a|b (a divide b), isto é, se existe cemN tal que b=ac. Qualquer que seja aemN temos a|a pois a=a.1, garantindo que a relação é reflexiva. Se aemN e bemN e temos que a|b e b|a, então necessariamente temos que a=b e a relação é anti-simétrica. Se a|b e b|c então facilmente temos que a|c, garantindo que a relação é transitiva.

  4. Definimos uma relação D sobre o conjunto dos números inteiros, com (a,b)emD se, e somente se, a|b. Mostrar que esta relação D não é uma relação de ordem.


Exercícios:

  1. A ordem lexicográfica « sobre um conjunto A é aquela seguida na organização de um dicionário.

    Em um dicionário a letra a precede a letra c, denotada por a«c que se lê: a precede c. Da mesma forma:

    a«abe, aab«aabc e bace«bb

    Outra situação: 1«3 que se lê: 1 precede 3. Analogamente:

    1«125, 112«1123 e 2135«22

    Mostrar que « é uma relação de ordem sobre N.

  2. Se aemZ e bemZ definimos a relação a«b se, e somente se, b-aemN. Mostrar que « é uma relação de ordem sobre Z.


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