Aplicação binária

Seja S um conjunto não vazio. Uma aplicação binária em S é uma aplicação f:S×SS. Às vezes, uma operação binária é denominada operação interna, pois tomando dois elementos arbitrários em S, o resultado deverá estar dentro do conjunto S.

Exemplos: Seja N={1,2,3,...} o conjunto dos números naturais.

1. A aplicação f:N×NN definida por f(m,n)=m+n é uma aplicação binária, onde + é a adição usual.

2. A aplicação f:N×NN definida por f(m,n)=m.n é uma aplicação binária, onde . é a multiplicação usual.

3. A aplicação f:N×NN definida por f(m,n)=m–n não é uma aplicação binária, pois nem sempre a diferença m–n está no conjunto N dos números naturais.

4. A aplicação f:N×NN definida por f(m,n)=m÷n não é uma aplicação binária, pois nem sempre a divisão m÷n está no conjunto N dos números naturais.

Observações sobre aplicações binárias:

1. Escrevemos m+n, para entender que existe uma aplicação binária f(m,n)=m+n que é a operação de adição.

2. Escrevemos m.n, para entender que existe uma aplicação binária f(m,n)=m.n que é a operação de multiplicação.

3. Se não estiver clara a operação, usaremos outros sinais como *, o, ou para substituir esta operação.

4. A notação (S,*) significa que está definida uma aplicação binária * sobre um conjunto não vazio S.

Características das operações binárias

Seja * uma aplicação binária sobre um conjunto não vazio S. Diz-se que a estrutura (S,*) possui:

1. a propriedade comutativa se, para quaisquer m,nS, tem-se que m*n=n*m.

2. a propriedade associativa se, para quaisquer m,n,pS, vale: (m*n)*p=m*(n*p).

3. elemento neutro (ou identidade) eS, se para todo nS: e*n=n*e=n.

4. elemento simétrico em S, se para cada nS, existe mS tal que n*m=m*n=e.

   onde e é o elemento neutro apresentado no ítem anterior e m é o elemento simétrico de n.

Proposição sobre o simétrico

Demonstrar que se a estrutura (S,*) possui as três propriedades:

1. é associativa;

2. possui elemento neutro; e

3. para cada mS, existe um elemento simétrico em S

então, cada simétrico é único e além disso, o simétrico do simétrico de m é o próprio m.

Observação: A palavra simétrico recebe nomes especiais como oposto ou inverso, dependendo da operação utilizada. Se usamos a adição usual, o simétrico aditivo de mS é denotado por -m e conhecido na literatura como oposto, mas se usamos a multiplicação usual, o simétrico multiplicativo de mS é denotado por m^-1, conhecido na literatura como inverso.

Grupo

Um grupo é uma estrutura (S,*), formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definido uma aplicação binária *, satisfazendo às propriedades:

1. (S,*) é associativa;

2. (S,*) possui um elemento neutro;

3. Cada elemento nS possui um simétrico mS com relação à operação *.

Se a aplicação * é a adição, o grupo (S,*) é aditivo e se a aplicação * é a multiplicação, o grupo (S,*) é multiplicativo.

Se a estrutura de grupo (S,*) é comutativa, o grupo é comutativo ou grupo abeliano.

Exemplos importantes:

1. O conjunto Z dos números inteiros com a adição usual, estabelece uma estrutura (Z,+) de grupo abeliano, pois:

   1. Para quaisquer m,n,pZ tem-se que (m+n)+p=m+(n+p).

   2. Existe 0Z tal que para todo mZ tem-se que 0+m=m+0=m.

   3. Para cada mZ existe –mZ tal que m+(–m)=0.

   4. Para quaisquer m,nZ tem-se que m+n=n+m.

2. O conjunto W={0,1} munido com a operação definida por:

   0 0 = 0, 0 1 = 1, 1 0 = 1 e 1 1 = 0

   possui uma estrutura (W,) de grupo abeliano.

3. O conjunto Y={1,–1} com a operação usual de multiplicação de números inteiros estabelece uma estrutura (Y,.) de grupo abeliano.

4. Se P={0,1,2,3,4,5,...} é um conjunto de números inteiros munido com a adição usual, (P,+) não forma uma estrutura de grupo, pois nem todos os elementos de P possuem opostos em P, embora (P,+) seja associativa, comutativa e possua elemento neutro.

Tabelas de operações binárias e grupos

Muitas vezes temos conjuntos S munidos de operações definidas através de tabelas de dupla entrada (na forma de uma matriz) com o resultado da operação do primeiro elemento de uma linha com o primeiro elemento de uma coluna aparecendo no cruzamento da linha com a coluna.

Exemplos de grupos definidos por tabelas

1. O conjunto W={0,1} com a adição definida pela tabela abaixo define (W,) como um grupo abeliano.

   	0	1
   0	0	1
   1	1	0

2. O conjunto Y={–1,1} com a multiplicação usual definida pela tabela abaixo define (Y,.) como um grupo abeliano.

   .	–1	1
   –1	1	–1
   1	–1	1

3. O conjunto S={0,1,2,3} com a adição definida pela tabela abaixo define (S,) como um grupo abeliano.

   	0	1	2	3
   0	0	1	2	3
   1	1	2	3	0
   2	2	3	0	1
   3	3	0	1	2

4. O conjunto T={1,i,–1,–i} dos números complexos que são zeros da equação algébrica x⁴–1=0 com a multiplicação * definida pela tabela abaixo define uma estrutura (T,*) de grupo abeliano.

   *	1	i	–1	–i
   1	1	i	–1	–i
   i	i	–1	–i	1
   –1	–1	–i	1	i
   –i	–i	1	i	–1

Interpretação das tabelas

Usaremos a tabela abaixo para obter informações.

	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

1. A simetria dos elementos em relação à diagonal principal significa que esta operação é comutativa.

2. A linha (ou coluna) do 0 se repete em relação à linha (ou coluna) do significando que 0 é o elemento neutro.

3. Se aparece 0 (elemento neutro citado no ítem anterior) no cruzamento de uma linha com uma coluna, significa que o primeiro elemento da linha e o primeiro elemento da coluna são simétricos um do outro, como é o caso de 3 e 1, pois 31=13=0.

4. A associatividade deve ser verificada para todos os elementos.

Isomorfismo de grupos

Uma aplicação f:ST é um isomorfismo entre os grupos (S,) e (T,*), se f é bijetora e para quaiquer x,yS, tem-se que

f(x y) = f(x) * f(y)

Se existe um isomorfismo entre os grupos (S,) e (T,*), dizemos que os grupos (S,) e (T,*) são isomorfos.

Exemplo: Sejam S={0,1,2,3} e T={1,i,-1,-i} os conjuntos cujas operações binárias foram apresentados nas duas tabelas. Os grupos (S,) e (T,*) são isomorfos, pois tomando a aplicação f:ST definida para cada mS por

f(m) = i^m = i*i*i...*i (m vezes)

segue que f é bijetora e além disso, quaisquer que sejam m,nS, tem-se que:

f(mn) = i^m+n = i^m*iⁿ = f(m) * f(n)

A aplicação f é um isomorfismo entre (S,) e (T,*), f(0)=1, isto é, o elemento neutro 0S é aplicado no elemento neutro 1T por f. Ainda temos: f(1)=i, f(2)=–1 e f(3)=–1.

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