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Ensino Superior: Álgebra: Grupos

"Quanto melhor é adquirir a sabedoria do que o ouro e quanto mais excelente é escolher o entendimento do que a prata!"
Provérbios 16:16 A Bíblia Sagrada

Aplicação binária

Seja S um conjunto não vazio. Uma aplicação binária em S é uma aplicação f:S×SsetaS. Às vezes, uma operação binária é denominada operação interna, pois tomando dois elementos arbitrários em S, o resultado deverá estar dentro do conjunto S.


Exemplos: Seja N={1,2,3,...} o conjunto dos números naturais.

  1. A aplicação f:N×NsetaN definida por f(m,n)=m+n é uma aplicação binária, onde + é a adição usual.

  2. A aplicação f:N×NsetaN definida por f(m,n)=m.n é uma aplicação binária, onde . é a multiplicação usual.

  3. A aplicação f:N×NsetaN definida por f(m,n)=m–n não é uma aplicação binária, pois nem sempre a diferença m–n está no conjunto N dos números naturais.

  4. A aplicação f:N×NsetaN definida por f(m,n)=m÷n não é uma aplicação binária, pois nem sempre a divisão m÷n está no conjunto N dos números naturais.


Observações sobre aplicações binárias:

  1. Escrevemos m+n, para entender que existe uma aplicação binária f(m,n)=m+n que é a operação de adição.

  2. Escrevemos m.n, para entender que existe uma aplicação binária f(m,n)=m.n que é a operação de multiplicação.

  3. Se não estiver clara a operação, usaremos outros sinais como *, o, soma ou soma para substituir esta operação.

  4. A notação (S,*) significa que está definida uma aplicação binária * sobre um conjunto não vazio S.


Características das operações binárias

Seja * uma aplicação binária sobre um conjunto não vazio S. Diz-se que a estrutura (S,*) possui:

  1. a propriedade comutativa se, para quaisquer m,nemS, tem-se que m*n=n*m.

  2. a propriedade associativa se, para quaisquer m,n,pemS, vale: (m*n)*p=m*(n*p).

  3. elemento neutro (ou identidade) eemS, se para todo nemS: e*n=n*e=n.

  4. elemento simétrico em S, se para cada nemS, existe memS tal que n*m=m*n=e.

    onde e é o elemento neutro apresentado no ítem anterior e m é o elemento simétrico de n.


Proposição sobre o simétrico

Demonstrar que se a estrutura (S,*) possui as três propriedades:

  1. é associativa;

  2. possui elemento neutro; e

  3. para cada memS, existe um elemento simétrico em S

então, cada simétrico é único e além disso, o simétrico do simétrico de m é o próprio m.


Observação: A palavra simétrico recebe nomes especiais como oposto ou inverso, dependendo da operação utilizada. Se usamos a adição usual, o simétrico aditivo de memS é denotado por -m e conhecido na literatura como oposto, mas se usamos a multiplicação usual, o simétrico multiplicativo de memS é denotado por m-1, conhecido na literatura como inverso.

Grupo

Um grupo é uma estrutura (S,*), formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definido uma aplicação binária *, satisfazendo às propriedades:

  1. (S,*) é associativa;

  2. (S,*) possui um elemento neutro;

  3. Cada elemento nemS possui um simétrico memS com relação à operação *.

Se a aplicação * é a adição, o grupo (S,*) é aditivo e se a aplicação * é a multiplicação, o grupo (S,*) é multiplicativo.

Se a estrutura de grupo (S,*) é comutativa, o grupo é comutativo ou grupo abeliano.

Exemplos importantes:

  1. O conjunto Z dos números inteiros com a adição usual, estabelece uma estrutura (Z,+) de grupo abeliano, pois:

    1. Para quaisquer m,n,pemZ tem-se que (m+n)+p=m+(n+p).

    2. Existe 0emZ tal que para todo memZ tem-se que 0+m=m+0=m.

    3. Para cada memZ existe –memZ tal que m+(–m)=0.

    4. Para quaisquer m,nemZ tem-se que m+n=n+m.

  2. O conjunto W={0,1} munido com a operação soma definida por:

    0 soma 0 = 0, 0 soma 1 = 1, 1 soma 0 = 1 e 1 soma 1 = 0

    possui uma estrutura (W,soma) de grupo abeliano.

  3. O conjunto Y={1,–1} com a operação usual de multiplicação de números inteiros estabelece uma estrutura (Y,.) de grupo abeliano.

  4. Se P={0,1,2,3,4,5,...} é um conjunto de números inteiros munido com a adição usual, (P,+) não forma uma estrutura de grupo, pois nem todos os elementos de P possuem opostos em P, embora (P,+) seja associativa, comutativa e possua elemento neutro.

Tabelas de operações binárias e grupos

Muitas vezes temos conjuntos S munidos de operações definidas através de tabelas de dupla entrada (na forma de uma matriz) com o resultado da operação do primeiro elemento de uma linha com o primeiro elemento de uma coluna aparecendo no cruzamento da linha com a coluna.

Exemplos de grupos definidos por tabelas

  1. O conjunto W={0,1} com a adição soma definida pela tabela abaixo define (W,soma) como um grupo abeliano.

    soma01
    001
    110
  2. O conjunto Y={–1,1} com a multiplicação usual definida pela tabela abaixo define (Y,.) como um grupo abeliano.

    .–11
    –11–1
    1–11
  3. O conjunto S={0,1,2,3} com a adição soma definida pela tabela abaixo define (S,soma) como um grupo abeliano.

    soma0123
    00123
    11230
    22301
    33012
  4. O conjunto T={1,i,–1,–i} dos números complexos que são zeros da equação algébrica x4–1=0 com a multiplicação * definida pela tabela abaixo define uma estrutura (T,*) de grupo abeliano.

    *1i–1–i
    11i–1–i
    ii–1–i1
    –1–1–i1i
    –i–i1i–1

Interpretação das tabelas

Usaremos a tabela abaixo para obter informações.

soma0123
00123
11230
22301
33012
  1. A simetria dos elementos em relação à diagonal principal significa que esta operação é comutativa.

  2. A linha (ou coluna) do 0 se repete em relação à linha (ou coluna) do soma significando que 0 é o elemento neutro.

  3. Se aparece 0 (elemento neutro citado no ítem anterior) no cruzamento de uma linha com uma coluna, significa que o primeiro elemento da linha e o primeiro elemento da coluna são simétricos um do outro, como é o caso de 3 e 1, pois 3soma1=1soma3=0.

  4. A associatividade deve ser verificada para todos os elementos.

Isomorfismo de grupos

Uma aplicação f:SsetaT é um isomorfismo entre os grupos (S,soma) e (T,*), se f é bijetora e para quaiquer x,yemS, tem-se que

f(x soma y) = f(x) * f(y)

Se existe um isomorfismo entre os grupos (S,soma) e (T,*), dizemos que os grupos (S,soma) e (T,*) são isomorfos.

Exemplo: Sejam S={0,1,2,3} e T={1,i,-1,-i} os conjuntos cujas operações binárias foram apresentados nas duas tabelas. Os grupos (S,soma) e (T,*) são isomorfos, pois tomando a aplicação f:SsetaT definida para cada memS por

f(m) = im = i*i*i...*i (m vezes)

segue que f é bijetora e além disso, quaisquer que sejam m,nemS, tem-se que:

f(msoman) = im+n = im*in = f(m) * f(n)

A aplicação f é um isomorfismo entre (S,soma) e (T,*), f(0)=1, isto é, o elemento neutro 0emS é aplicado no elemento neutro 1emT por f. Ainda temos: f(1)=i, f(2)=–1 e f(3)=–1.


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