Aplicação

Dentre todas as relações em um determinado produto cartesiano, existe um tipo de subconjunto que é muito mais exigente mas que produz resultados de grande valor na Matemática. Este conceito é denominado função.

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma aplicação f no produto cartesiano A×B, é definida como sendo uma relação em A×B, que satisfaz às duas propriedades:

1. Para cada xA, existe yB tal que (x,y)f.

   

2. Se (x,y₁)f e (x,y₂)f, então y₁=y₂

   

Uma notação usual para uma aplicação f definida no produto cartesiano A×B, é f:AB.

Observações sobre aplicações

1. O primeiro ítem da Definição declara que todos os elementos de A devem estar relacionados com elementos de B.

2. O segundo ítem da Definição garante que um elemento de A deve estar associado com apenas um elemento em B

3. Nem toda relação no produto cartesiano R² é uma aplicação, como mostra o exemplo seguinte:

   K = {(x,y)R² : x²+y²=1}

   

4. Em textos antigos, a palavra função era usada de uma forma bastante livre no lugar de aplicação, mas na literatura atual a palavra aplicação passou a ter outros nomes como: operador, transformação, funcional,…, e houve a necessidade de restringir a palavra função exclusivamente às situações em que o conjunto B é um subconjunto do conjunto R dos números reais.

   
   

Elementos de uma aplicação

Seja f uma aplicação em A×B, denotada por f:AB.

1. O gráfico de f, às vezes usado como a definição de função, é definido por:

   G(f)={(x,y)A×B: xA, yB, y=f(x)}

2. O conjunto A recebe o nome de domínio de f, denotado por Dom(f).

3. O conjunto B recebe o nome de contradomínio de f, denotado por Codom(f).

4. A imagem de f, denotada por texto Im(f) é o conjunto:

   f(A)={yB: existe xA tal que y=f(x)}

Exemplo: A função quadrática f:R[0,) pode ser escrita na forma:

f={(x,y)R×[0,): xR, yR, y=x²}

ou na forma f:R[0,) definida por

f(x)=x² sendo Dom(f)=R, Codom(f)=Im(f)=[0,).

Exercícios:

1. Sejam A={1,2,3,4,5} e B={0,3,8,15,20}. Verificar se a relação f em A×B, definida por (a,b)f se, e somente se, b=a²-1, é uma aplicação.

2. Verificar se a relação f:QQ definida por f(m/n)=mn é uma aplicação. (Dica: 1/2=3/6 mas,...)

3. Para A={1,2,3} e B={a,b,c,d}, seja a relação g:A×BB×A, definida por g(x,y)=(y,x). Mostrar que g é uma aplicação.

   
   

Restrição de uma aplicação

Podemos restringir o domínio de uma função f:AB a um subconjunto S de A de modo que a função restrita ao conjunto S, denotada por f|_S:SB seja coincidente com a função original sobre o conjunto S, isto é, para cada xS tem-se que: f|_S(x)=f(x).

Exemplo: Podemos definir a restrição da função f:RR, f(x)=x² ao conjunto [0,) de modo que:

f|_[0,):[0,)R, f(x)=x²

Extensão de uma aplicação

Podemos estender uma função f:AB a um conjunto M contendo o conjunto A de modo que a função estendida ao conjunto M, denotada por F:MB deva ser coincidente com a função original sobre o conjunto A, isto é, para cada, xA tem-se que F(x)=f(x).

Exemplo: Consideremos a função f:R-{0}R definida por

f(x)=sen(x)/x

Não tem sentido para x=0, mas podemos estender esta função de uma forma natural a todo o conjunto R dos números reais, tomando f(0)=1. Esta forma é comumente utilizada em Análise Matemática.

Dada uma aplicação f:AB que associa a cada elemento de A um único elemento de B, esta definição não obriga que todos os elementos de A tenham imagens distintas ou mesmo que todos os elementos de B sejam imagens de elementos de A.

Aplicação injetiva

Mesmo que ab pode ocorrer que f(a)=f(b). Quando elementos distintos de A possuem imagens distintas, dizemos que a aplicação é injetora. A definição seguinte estabelece este fato.

Uma aplicação f:AB é denominada injetiva, injetora, unívoca ou 1-1, se:

ab implicar que f(a)f(b)

Exemplo: A função f:RR, definida por f(x)=x² não é injetiva, pois f(-2)=f(2), mas a função f:[0,)[0,) definida por f(x)=x² é injetiva.

Teorema: Seja f:AB uma aplicação. f é injetora se, e somente se, f(a)=f(b) implica que a=b;

Demonstração: São equivalentes as proposições lógicas

ab implica que f(a)f(b)

e

f(a)=f(b) implica que a=b

pois a proposição lógica (pq) é equivalente à proposição lógica (q'p').

Aplicação sobrejetora

Pode ocorrer que algum elemento de B não seja imagem de um elemento de A. Temos uma outra definição.

Dizemos que a aplicação f:AB é sobrejetiva, sobre ou sobrejetora, se todos os elementos de B são imagens de elementos de A, ou seja:

para todo bB existe aA tal que f(a)=b

significando que f(A)=B.

Exemplo: A função f:RR, definida por f(x)=x² não é sobrejetiva, pois não existe xR tal que f(x)=-2, mas f:[0,)[0,) definida por f(x)=x² é sobrejetiva

Teorema: Seja f:AB uma aplicação. f é sobrejetora se, e somente se, para todo bB, a equação f(x)=b tem pelo menos uma solução em A

A demonstração é imediata, pois temos aqui duas maneiras para garantir que f é sobrejetiva

Aplicação bijetora

Uma aplicação f:AB é denominada bijetiva, bijetora ou uma correspondência biunívoca, se f é injetiva e também sobrejetiva

Exemplo: A função f:RR, f(x)=x² não é bijetiva, mas a função f:[0,)[0,) definida por f(x)=x² é bijetiva

Exemplo: A aplicação f:R-{2}R-{3} definida por f(x)=(3x-1)/(x-2) é injetora pois, se f(a)=f(b) então (3a-1)/(a-2)=(3b-1)/(b-2) e daí segue que a=b. f também é sobrejetiva pois se f(x)=b, então (3x-1)/(x-2)=b, de onde segue que para b3: x=(2b-1)/(b-3). Finalmente, segue que f é bijetora pois é injetora e sobrejetora

Sobre a palavra 'sobre': Afirmar que f:AB é uma aplicação injetiva sobre o conjunto B, é o mesmo que afirmar que f é bijetiva

Exercícios:

1. Mostrar que f:RR, definida por f(x)=3x+2, é bijetora.

2. Seja f:RR uma função real afim da forma f(x)=ax+b, sendo a0. Mostrar que f é bijetora

3. Mostrar que f:RR definida por f(x)=2x²+4x-1 não é sobrejetora, pois não existe x em R tal que f(x)=-4.

4. Mostrar que funções reais de segundo grau não são injetoras e nem mesmo sobrejetoras, dependendo do domínio e do contradomínio destas funções.
   Dica 1: Para mostrar que f(x)=ax²+bx+c com a0 não é injetora, basta calcular f(-(b)/(2a)+r) e f(-(b)/(2a)-r).
   Dica 2: Para mostrar que f não é sobrejetiva suponha que o coeficiente a seja positivo e tente obter o número real que é levado em (-b²+4ac)/(4a)-1. Se a é negativo, calcule uma pré-imagem de (-b²+4ac)/(4a)+1.

   
   

Composição de aplicações

Definição de composta: Sejam as aplicações f:AB e g:BC. Definimos a aplicação composta g©f:AC de g e f, nesta ordem, por: (g©f)(x)=g(f(x))

Uma outra representação geométrica para a composta das aplica7ccedil;ões f e g, está ilustrada na figura seguinte.

Exemplo: Sejam f:RR definida por f(x)=2x e g:RR definida por g(y)=y². Definimos a composta g©f:RR por:

(g©f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)² = 4x²

Aplicação identidade

A identidade I:AA é uma das mais importantes aplicações da Matemática, definida para todo aA, por I(a)=a. Quando é importante indicar o conjunto X onde a identidade atua, a aplicação identidade I:XX é denotada por I_X

Propriedades das aplicações compostas

1. A composição de aplicações não é comutativa, isto é:

   f©gg©f

2. A composição de aplicações é associativa, isto é:

   (f©g)©h=f©(g©h)

3. A composição de aplicações possui elemento neutro, isto é:

   f©I=I©f=f

4. Se f e g são aplicações injetivas, sobrejetivas e bijetivas, então as compostas g©f são, respectivamente, injetivas, sobrejetivas e bijetivas.

   
   

Aplicações inversas

Aplicação inversa à esquerda: Sejam f:AB e g:BA aplicações. Dizemos que g é uma inversa à esquerda para f se g©f=I_A, isto é, para todo aA:

(g©f)(a)=a

Aplicação inversa à direita: Sejam g:BA e f:AB aplicações. Dizemos que g é uma inversa à direita para f se f©g=I_B, isto é, para todo bB:

(f©g)(b)=b

Aplicação inversa: Uma aplicação f:AB tem inversa g:BA se, g é uma inversa à esquerda e também à direita para f. Isto significa que, para todo aA e para todo bB:

(f©g)(a)=I_A(a)    e    (g©f)(b)=I_B(b)

Notação para a inversa: A inversa de f é denotada por g=f^-1. É possível demonstrar que se a inversa g=f^-1 existe, ela é única e que a inversa da inversa de f é a própria f, isto é: (f^-1)^-1=f.

Imagem um conjunto por uma aplicação

A imagem (direta) de um conjunto AX pela aplicação f:XY, é definida por:

f(A) = {f(a): aA}

Propriedades da imagem direta

Sejam f:XY uma aplicação, AX e BX. Então:

1. f({x})={f(x)} para todo x em X.

2. Se Aø então f(A)ø.

3. Se AB, então f(A)f(B).

   Demonstração: Seja yf(A). Pela definição de imagem direta de um conjunto por uma aplicação f, existe xA tal que y=f(x)f(A). Como por hipótese, AB, então xB, logo y=f(x)f(B).

4. f(AB)=f(A)f(B).

   Demonstração: Em duas etapas:

   1. f(AB)f(A)f(B).

   2. f(A)f(B)f(AB).

   Parte a: Seja wf(AB). Pela definição de imagem direta, existe xAB tal que w=f(x). Assim, xA ou xB e temos que f(x)f(A) ou f(x)f(B) e garantimos que w=f(x)f(A)f(B).

   Parte b: Seja yf(A)f(B). Então, yf(A) ou yf(B). Existe aA tal que y=f(a) ou existe bB tal que y=f(b).

   A primeira afirmação garante que y=f(a)f(A). Como AAB,então pelo ítem (3) acima, segue que f(A)f(AB), e temos que yf(AB).

   Analogamente, y=f(b)f(B). Como BAB, então pelo ítem (3) acima, segue que f(B)f(AB) e temos que yf(AB).

   As duas circunstâncias garantem que yf(AB).

5. f(AB)f(A)f(B).

   Demonstração: Seja wf(AB). Pela definição de imagem direta, existe xAB tal que w=f(x). Assim, xA e xB e temos que f(x)f(A) e f(x)f(B), logo wf(A) e wf(B), assim wf(A)f(B).

6. Existem aplicações para as quais f(AB)f(A)f(B).

   
   

Imagem inversa por uma aplicação

A imagem inversa de um conjunto WY pela aplicação f:XY, é definida por

f^-1(W)={xX: f(x)W }

Propriedades da imagem inversa

Sejam f:XY uma aplicação, UY e VY. Então:

1. f^-1(ø)=ø

2. Se UV então f^-1(U)f^-1(V).

   Demonstração: Seja xf^-1(U). Pela definição de imagem inversa de um conjunto por uma função f, segue que f(x)U. Como por hipótese, UV, então f(x)V, logo xf^-1(V).

3. f^-1(UV)=f^-1(U)f^-1(V)

   Demonstraremos a igualdade, em duas partes:

   1. f^-1(UV)f^-1(U)f^-1(V).

   2. f^-1(U)f^-1(V)f^-1(UV).

   Parte a: Seja xf^-1(UV). Pela definição de imagem inversa, segue que f(x)UV. Pela definição de reunião de conjuntos, temos que f(x)U ou f(x)V. Assim, xf^-1(U) ou xf^-1(V). Concluímos então que xf^-1(U)f^-1(V).

   Parte b: Seja xf^-1(U)f^-1(V). Pela definição de reunião de conjuntos, temos que xf^-1(U) ou xf^-1(V). Pela definição de imagem inversa, segue que f(x)U ou f(x)V. Assim, f(x)UV e concluímos que xf^-1(UV).

4. f^-1(UV)=f^-1(U)f^-1(V)

   Demonstraremos com duas inclusões:

   1. f^-1(UV)f^-1(U)f^-1(V).

   2. f^-1(U)f^-1(V)f^-1(UV).

   Parte a: Seja xf^-1(UV). Pela definição de imagem inversa, segue que f(x)UV. Pela definição de interseção de conjuntos, temos que f(x)U e f(x)V. Assim, xf^-1(U) e xf^-1(V). Concluímos que xf^-1(U)f^-1(V).

   Parte b: Seja xf^-1(U) )f^-1(V). Pela definição de interseção de conjuntos, temos que xf^-1(U) e xf^-1(V). Pela definição de imagem inversa, segue que f(x)U e f(x)V. Assim, f(x)UV e concluímos que xf^-1(UV).

5. f^-1(V^c)=[f^-1(V)]^c

   Demonstração em duas etapas.

   1. f^-1(V^c)[f^-1(V)]^c.

   2. [f^-1(V)]^cf^-1(V^c).

   Parte a: Seja xf^-1(V^c). Pela definição de imagem inversa, segue que f(x)V^c. Pela definição de complementar, temos que f(x) não está em V, logo x não pertence a f^-1(V) e temos que x[f^-1(V)]^c.

   Parte b: Seja x[f^-1(V)]^c. Pela definição de complementar, temos que x não pertence a f^-1(V). Assim, f(x) não pertence ao conjunto V ou seja f(x)V^c, o que implica que x f^-1(V^c).

6. Se VU então f^-1(U-V)=f^-1(U)-f^-1(V)

   Demonstração: Usando o conceito de complementar, segue que U-V=UV^c. Pela relação do ítem (4):

   f^-1(U-V)=f^-1(UV^c)=f^-1(U)f^-1(V^c)

   Pelo ítem (5), segue que:

   f^-1(U-V)=f^-1(U)[f^-1(V)]^c=f^-1(U)-f^-1(V)

   
   

Propriedades mistas

Sejam f:XY uma aplicação. Assim:

1. Para todo AX, tem-se que:

   A f^-1(f(A))

2. Para todo VY, tem-se que:

   f(f^-1(V)) V

3. Se f é injetiva, então para todo AX, tem-se que:

   f^-1(f(A)) = A

4. Se f é sobrejetiva, então para todo VY, tem-se que

   f(f^-1(V)) = V

5. Se f é bijetiva, para todo AX e para todo VY, tem-se que:

   f^-1(f(A))=A   e   f(f^-1(V))=V

   
   

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