Relacões e funções entre conjuntos

Consideremos dois conjuntos A={a,b} e B={1,2}. Vamos estudar a quantidade de relações e funções existentes entre estes conjuntos

1. Todas as relações em A×B.

   O produto cartesiano A×B possui 4 pares ordenados, apresentados por:

   A×B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}

   

   
   

   Existem duas relações triviais em A×B que são: R₁=Ø e R₁₆=A×B. A relação vazia é aquela que não possui elementos de A×B, enquanto que a relação R=A×B contém todos os pares ordenados possíveis em A×B.

   Existem ainda outros tipos de relações em A×B, contendo 1, 2 ou 3 pares ordenados.

   
   

   O número de relações contendo 1 par ordenado é dado por C_4,1=4. Tais relações são:

   R₂={(a,1)}, R₃={(a,2)}, R₄={(b,1)}, R₅={(b,2)}

   

   
   

   O número de relações contendo 2 pares ordenados é dado por C_4,2=6. Tais relações são:

   R₆={(a,1),(a,2)}, R₇={(a,1),(b,1)},
   R₈={(a,1),(b,2)}, R₉={(a,2),(b,1)},
   R₁₀={(a,2),(b,2)}, R₁₁={(b,1),(b,2)}

   

   
   

   O número de relações contendo 3 pares ordenados é dado por C_4,3=4. Tais relações são:

   R₁₂={(a,1),(a,2),(b,1)}, R₁₃={(a,1),(a,2),(b,2)},
   R₁₄={(a,1),(b,1),(b,2)}, R₁₅={(a,2),(b,1),(b,2)}

   

   Concluímos que existem 16 relações em A×B, que foram apresentadas.

   A fórmula geral para obter este número N de relações em A×B, é dada por:

   N = C_4,0 + C_4,1 + C_4,2 + C_4,3 + C_4,4 = 2⁴

   que é um caso particular da identidade

   C_n,0 + C_n,1 + C_n,2 + ... + C_n,n-1 + C_n,n = 2ⁿ

   que é válida para todo inteiro n não negativo. Esta última identidade também pode ser escrita com números binomiais na forma:

   (	n 0	)+(	n 1	)+(	n 2	)+...+(	n n-1	)+(	n n	)=2n

   
   

2. Todas as funções possíveis em A×B.

   Para obter todas as funções em A×B, analisaremos todas as 16 relações obtidas anteriormente.

   A relação trivial R₁=Ø em A×B, não é uma função, pois ela não possui qualquer elemento no domínio A e nem mesmo no contradomínio B.

   A relação R₁₆=A×B não é uma função pois um mesmo elemento a em A está associado a dois outros em B.

   

   As relações R₂, R₃, R₄ e R₅ com apenas um par ordenado, não são funções porque em cada caso, apenas um dos elementos de A está associado a elementos de B e pela definição de função, todos os elementos de A deveriam estar associados a elementos de B.

   

   Dentre as relações com dois pares ordenados, R₆={(a,1),(a,2)} e R₁₁={(b,1),(b,2)} não são funções, porque um mesmo elemento de A está associado a dois elementos de B.

   

   Só as relações R₇={(a,1),(b,1)}, R₈={(a,1),(b,2)}, R₉={(a,2),(b,1) } e R₁₀={(a,2),(b,2) } são funções em A×B.

   

   Dentre as relações R₁₂, R₁₃, R₁₄ e R₁₅ com três pares ordenados, nenhuma delas é uma função pois para um mesmo elemento de A, estão associados dois elementos de B.

   

   Todas as possíveis funções em A×B são as relações R₇={(a,1),(b,1)}, R₈={(a,1),(b,2)}, R₉={(a,2),(b,1)} e R₁₀={(a,2),(b,2)}.

   
   

3. Todas as funções injetoras em A×B.

   Dentre todas as funções em A×B, dadas por:

   R₇={(a,1),(b,1)}, R₈={(a,1),(b,2)},
   R₉={(a,2),(b,1)}, R₁₀={(a,2),(b,2)}

   R₇ e R₁₀ não são injetoras, porque dois elementos diferentes em A são associados ao mesmo elemento de B, assim, somente R₈ e R₉ são funções injetoras.

   

   
   

4. Todas as funções sobrejetoras em A×B.

   Dentre todas as funções em A×B, dadas por:

   R₇={(a,1),(b,1)}, R₈={(a,1),(b,2)},
   R₉={(a,2),(b,1)}, R₁₀={(a,2),(b,2)}

   R₇ e R₁₀ não são sobrejetoras, porque existem elementos em B que não estão associados a elementos de A, logo, somente R₈ e R₉ são funções sobrejetoras.

   

   
   

5. Todas as funções bijetoras em A×B.

   Como R₈ e R₉ são funções injetoras e também sobrejetoras, segue que tais funções são bijetoras.

   

   
   

6. As inversas das funções que são bijetoras

   A inversa da função R₈={(a,1),(b,2)} é dada por

   I₈={(1,a),(2,b)}

   

   A inversa da função R₉={(a,2),(b,1)} é dada por

   I₉={(2,a), (1,b)}

   respectivamente obtidas pelas trocas das posições das duas coordenadas dos pares ordenados das funções R₈ e R₉.

   

   
   

Relação de Stifel

Esta relação afirma que para quaisquer inteiros não negativos n e p com p<n, vale a identidade:

Demonstração:

Propriedade binomial

Demonstrar que para cada inteiro n não negativo, vale a identidade com números binomiais:

Usaremos a notação de combinação para esta identidade, isto é:

P(n):  C_n⁰ + C_n¹ + C_n² + ... + C_n^n-1 + C_nⁿ = 2ⁿ

A demonstração utilizará o Princípio da Indução Matemática.

A propriedade P(1) é verdadeira, pois:

P(1):   C₁⁰ + C₁¹ = 1+1 = 2 = 2¹

Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para m natural com m>1, isto é:

P(m):  C_m⁰ + C_m¹ + C_m²+...+C_m^m-1 + C_m^m = 2^m

Usando a hipótese de indução acima, demonstraremos que é verdadeira a propriedade para m+1, isto é:

P(m+1): C_m+1⁰+C_m+1¹+...+C_m+1^m+C_m+1^m+1=2^m+1

Na sequência usaremos a relação de Stifel:

C_n^p + C_n^p+1 = C_n+1^p+1

Realizaremos a demonstração, desenvolvendo o membro da esquerda de P(m+1), que será indicado por E(m+1).

	Construída por Julio Estefano e Ulysses Sodré