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Ensino Superior: Álgebra Linear: Espaços e subespaços vetoriais

"Adquire a sabedoria, adquire o entendimento; não te esqueças nem te desvies das palavras da minha boca."
Provérbios 4:5 A Bíblia Sagrada


Espaço Vetorial

Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:

  1. Quaisquer que sejam u,v,wemV:

    (u+v)+w = u+(v+w)

  2. Existe öemV (elemento nulo) tal que para todo vemV:

    ö + v = v

  3. Para cada vemV, existe –vemV (elemento oposto) tal que

    v+(–v)=ö

  4. Quaisquer que sejam u,vemV, segue que

    u+v=v+u

  5. Para todo escalar kemK e quaisquer v,wemV:

    k.(v+w) = k.v + k.w

  6. Para quaisquer k,memK e todo vemV:

    (k+m).v = k.v + m.v

  7. Para quaisquer k,memK e qualquer vemV:

    (km).v = k(m.v)

  8. Para qualquer vemV tem-se que

    1.v = v


Propriedades em um espaço vetorial

Se V=(V,+,.) é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:

  1. Para todo kemK segue que k.ö=ö.

  2. O vetor nulo ö é único.

  3. Para todo vemV tem-se que 0.v=ö.

  4. Para cada vemV o vetor oposto –vemV é único.

  5. Seja kemK e vemV. Se k.v=ö então k=0 ou v=ö.

  6. Se v+u=v+w para u,v,wemV, então u=w.

  7. Quaisquer que sejam v,wemV, existe um único uemV tal que v+u=w.

  8. Para todo kemK e para todo vemV segue que:

    (–k).v = –(k.v) = k.(–v)

  9. Para todo kemK e para todo vemV segue que

    (–k)(–v) = kv

  10. Se k1,k2,…,knemK e vemV, então:

    (k1+k2+…+kn)v = k1v + k2v+…+knv

  11. Se kemK e v1,v2,…,vnemV, então:

    k(v1+v2+…+vn) = kv1 + kv2+…+kvn


Exemplos de espaços vetoriais

  1. Todo corpo K é um espaço vetorial sobre o próprio corpo K com as operações usuais de adição e multiplicação de K.

  2. O corpo R dos números reais é um espaço vetorial sobre o corpo Q dos números racionais com as operações de adição e multiplicação de R.

  3. O corpo C dos números complexos é um espaço vetorial sobre o corpo R dos números reais com as operações de adição e multiplicação de C.

  4. R²={(x,y): xemR, yemR} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:

    (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)
    k(x,y)=(kx,ky)

  5. Rn={(x1,x2,…,xn): xiemR, i=1,2,…,n} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação por escalar definidas por:

    (x1,x2,…,xn)+(y1,y2,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn)
    k.(x1,x2,…,xn)=(kx1,kx2,…,kxn)

  6. O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

  7. O conjunto Mm×n(K) das matrizes com m linhas e n colunas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

  8. O conjunto Mm×1(K) dos vetores-linhas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

  9. O conjunto M1×n(K) dos vetores-colunas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

  10. O conjunto F(R)={f:RsetaR} das funções reais cujo domínio é o conjunto dos números reais é um espaço vetorial sobre R.

  11. O conjunto P[K] de todas as funções polinomiais da forma:

    p(x) = a0 + a1 x + a2 x² +…+ an xn

    onde aiemK (i=0,1,2,…,n) é um espaço vetorial sobre o corpo K.

  12. O conjunto F([a,b],R)={f:[a,b]setaR} das funções reais cujo domínio é o intervalo fechado [a,b] é um espaço vetorial sobre R.


Subespaço Vetorial

Seja (V,+,.) um espaço vetorial sobre um corpo K e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial de V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para V. É comum escrever (S,+,.) para um subespaço.

Para mostrar que (S,+,.) é um subespaço vetorial, podemos mostrar que esta estrutura possui as oito propriedades de espaço vetorial V ou usar uma das duas caracterizações seguintes:


Caracterização de subespaço vetorial

Teorema I: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se:

  1. S é não vazio.

  2. Se v,wemS, então v+wemS.

  3. Se kemK e vemS, então k.vemS.

Teorema II: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se:

  1. O vetor nulo de V pertence ao conjunto S.

  2. Se v,wemS e p, qemK, então p.v + q.wemS.

Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não existe possibilidade de dúvida.


Exemplos de subespaços vetoriais

  1. O conjunto nulo S={ö} e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V.

  2. O corpo Q dos números racionais é um subespaço do corpo R dos números reais.

  3. O corpo R dos números reais é um subespaço do corpo C dos números complexos.

  4. Toda reta que passa pela origem de R² é um subespaço de R².

  5. Seja A uma matriz de números reais com m linhas e n colunas. O conjunto

    H = {x=(x1,x2,…,xn)t em Rn: A.x = ö}

    é um subespaço (hiperplano) de Rn.

  6. O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n é um subespaço de Mm×n(K), o espaço vetorial das matrizes com m linhas e n colunas com elementos de um corpo K, se n<m.

  7. O conjunto Sn(R) das matrizes simétricas é um subespaço de Mn(R).

  8. O conjunto An(R) das matrizes anti-simétricas é um subespaço de Mn(R).

  9. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada nula (plano z=0) é um subespaço de R³.

  10. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada igual a 1 (plano z=1) não é um subespaço de R³.

  11. O conjunto P={(x,y,z)emR³: 2x+3y–6z=0} (plano contendo a origem) é um subespaço de R³.

  12. O conjunto Q={(x,y,z)emR³: 2x+3y–6z=12 (plano não contendo a origem) não é um subespaço de R³.

  13. O conjunto Cº(R)={f:R setaR: f é contínua} é um subespaço de F(R,R).

  14. O conjunto P3[R] de todas as funções polinomiais com coeficientes reais com grau menor ou igual a 3 é um subespaço de P[R].

  15. O conjunto P0 de todas as funções polinomiais com coeficientes reais e o grau exatamente igual a 3 não é um subespaço de P[R].

  16. O conjunto F'={f:(a,b)setaR, f é derivável} é um subespaço de F={f:(a,b) setaR}.

  17. O conjunto C[A]={XemMn(R): AX=XA} das matrizes que comutam com A, é um subespaço de Mn(R).

  18. O conjunto S={XemM2(R): det(X)=0} das matrizes singulares, não é um subespaço de M2(R).

  19. O conjunto Id={XemM2(R): X²=X} das matrizes idempotentes, não é um subespaço de M2(R).

Observação: Nem sempre é bom trabalhar com um espaço vetorial amplo e às vezes é útil trabalhar com as propriedades dos subespaços, mas se tais subespaços são simples também não resolvem nossos problemas, assim, são criados outros subespaços com operações de adição, interseção ou reunião de conjuntos.


Combinações lineares

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K e C={v1,v2,…,vn} uma coleção de vetores em V. Dizemos que um vetor v é combinação linear dos elementos de C, se existem escalares k1,k2,…,knemK tal que

v = k1 v1 + k2 v2 +…+ kn vn

Exemplo: O vetor v=(3,-2,1)emR³ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de C={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} pois existem escalares k1=5, k2=-3 e k3=1 tal que

(3,-2,1) = 5(1,0,0) + (-3)(1,1,0) + 1(1,1,1)

Exercício: Determinar escalares p,q,remR tal que:

(1,2,3) = p(1,0,0) +q(1,1,0) +r(1,1,1)


Conjunto gerado

Se S é um subconjunto de um espaço vetorial V, definimos o conjunto gerado por S, denotado por <S>, como o conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S.


Exemplos de conjuntos gerados

(1) O conjunto gerado pelo vetor v=(1,2) de R² é a reta que passa pela origem de R² e possui a direção do vetor v=(1,2), pois:

<(1,2)> = {t(1,2): t em R}
        = {(x,y) em R²: x=1t,y=2t, t real}
        = {(x,y) em R²: x/1=y/2}
        = {(x,y) em R²: y=2x}

(2) O conjunto gerado pelos vetores de R², u=(1,0) e v=(0,1) é todo o espaço R², pois:

<u,v> = {w=xu+yv em R²: x,y em R}
      = {w=x(1,0)+y(0,1): x,y em R}
      = {w=(x,0)+(0,y): x,y em R}
      = {w=(x,y): x,y em R} = R²

(3) O conjunto gerado pelo vetor v=(1,2,3) de R³ é a reta que passa pela origem de R³ e possui a direção do vetor v=(1,2,3), pois:

<(1,2,3)> = {t(1,2,3): t real}
          = {(1t,2t,3t): t real}
          = {(x,y,z): x=1t,y=2t,z=3t,t real}
          = {(x,y,z) em R³: x/1=y/2=z/3}

(4) O conjunto gerado pelos vetores u=(1,0,0) e v=(0,1,0) de R³ é o plano z=0 em R³, pois:

<u,v> = {w=xu+yv em R³: x,y em R}
      = {w=x(1,0,0)+y(0,1,0): x,y em R}
      = {w=(x,0,0)+(0,y,0): x,y em R}
      = {w=(x,y,0): x,y em R}
      = {w=(x,y,z) em R³: z=0}

(5) O conjunto gerado pelos vetores u=(1,0,0), v=(0,1,0) e w=(0,0,1) de R³ é todo o espaço R³, pois:

<u,v,w> ={xu+yv+zw em R³: x,y,z em R}
     ={x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1): x,y,z em R}
     ={(x,0,0)+(0,y,0)+(0,0,z): x,y,z em R}
     ={(x,y,z): x,y,z em R} = R³

Em todas as situações acima, os conjuntos gerados sempre apresentaram subespaços como resultados.



Propriedades dos conjuntos gerados

Sejam S e T subconjuntos de um espaço vetorial V e <S> e <T> os seus respectivos conjuntos gerados. É possível mostrar que

  1. <S> é um subespaço de V.

  2. <S>={ö}, onde ö é o vetor nulo de V.

  3. S está contido em <S>.

  4. Se S está contido em T então <S> está contido em <T>.

  5. S=<S> se, e somente se, S é subespaço de V.

  6. <<S>> = <S>.


Soma de subespaços vetoriais

Em um espaço vetorial V, definimos a soma dos seus subespaços U e W, denotada por U+W, como o conjunto de todos os vetores da forma v=u+w, onde uemU e wemW, isto é:

U+W = { u+w : uemU; wemW }

Proposição: Se U e W são subepaços de um espaço vetorial V, então a soma U+W é um subespaço de V.

Demonstração: Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V.

  1. O vetor nulo é o mesmo em U, W e V, isto é, öUW=ö e segue que U+W não é vazio pois contém o vetor nulo ö = öU + öW.

  2. Se v'=u'+w'emU+W e v"=u"+w"emU+W, então:

    v'+v" = (u'+w') + (u"+w") = (u'+u") + (w'+w")emU+W

  3. Se v=u+wemU+W e kemK (corpo), então:

    k v = k (u+w) = k u + k wemU+W

Exemplo: Sejam os subespaços de R³ definidos por:

U=<(1,0,0),(0,1,0)>={(x,y,0): xemR, yemR}
W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): zemR }

O conjunto U+W é um subespaço de R³ e na realidade, segue que U+W=R³.

Exercício: Sejam os subespaços de R³ definidos por:

U=<(1,0,0)> = { x (1,0,0) : xemR }
W=<(0,1,0)> = { y (0,1,0) : yemR }

Mostrar que U+W é o plano z=0, isto é, o subespaço de R³ tal que:

U+W={(x,y,z)emR³: z=0}


Interseção de subespaços vetoriais

Em um espaço vetorial V, definimos a interseção dos subespaços de U e W, denotada por UinterW, como o conjunto de todos os vetores pertencentes a ambos os subespaços, isto é:

UinterW = {v: vemU e vemW }

Proposição: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V, então a interseção UinterW é um subespaço de V.

Demonstração: Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V.

  1. O vetor nulo é o mesmo em U, W e V, isto é, öUW=ö, assim UinterW é não vazio.

  2. Se v'emUinterW e v"emUinterW, então v'emU, v1emW, v"emU e v"emW, assim v'+v"emU e v'+v"emW e segue que v'+v"emUinterW.

  3. Se kemK e vemUinterW, então vemU, vemW, logo k.vemU e k.vemW o que garante que k.vemUinterW.

Exemplo: Sejam U e W subespaços vetoriais de R³, definidos por:

U=<(1,0,0),(0,1,0)> = {(x,y,0): xemR, yemR }
W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): zemR }

O conjunto UinterW é um subespaço de R³ e observamos que U interW ={ö} o subespaço nulo.

Exemplo: Sejam U e W subespaços vetoriais de R³, definidos por:

U=<{(1,0,0),(0,1,0)}>={(a,b,0): a em R, b em R }
W=<{(1,0,0),(0,0,1)}>={(c,0,d): c em R, d em R }

Mostrar que UinterW é o subespaço vetorial de R³, conhecido como o Eixo OX.

Exercício: Se V é um espaço vetorial, exiba subespaços vetoriais U e W de V cuja reunião nao seja um subespaço vetorial de V.


Soma direta de subespaços

Se U e W são subepaços de um espaço vetorial V, definimos a soma direta de U e W, denotada por UsomaW, como o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos de uma forma única v=u+w, onde uemU e wemW.

Teorema caracterizando a soma direta: Sejam U e W subepaços de um espaço vetorial V. V=UsomaW se, e somente se, V=U+W e UinterW ={ö}.

Exemplo: Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas reais de ordem 2, S o subespaço de V das matrizes simétricas, isto é, as matrizes da forma:

s = |
|
 x  y
 y  z
|
|

e T o subespaço de V das matrizes anti-simétricas, que têm a forma geral:

t = |
|
 0  w
-w 0
|
|

Assim V=SsomaT, pois V=S+T e SinterT={ö}.

Isto significa que toda matriz quadrada de números reais de ordem 2, pode ser decomposta, de forma única, na soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica.

Se M é uma matriz quadrada arbitrária de ordem 2, então é possível obter uma matriz simétrica M' e uma matriz anti-simétrica M", dadas por:

M' = ½(M + Mt)   e   M" = ½(M - Mt)

de modo que existe uma decomposição única para M, isto é, M=M'+M".

Exercício: Seja F={f:RsetaR} o espaço vetorial de funções, F" o subespaço de F das funções pares e F' o subespaço de F das funções ímpares, isto é,

F' = { femF: f(-x)=-f(x), xemR }
F" = { femF: f(-x)= f(x), xemR }

Então, F=F"somaF', pois F"+F'=F e F"interF'={0}.

Sugestão: Se f=f(x)emF, escreva f(x)=g(x)+h(x) e mostre que g(x)=½(f(x)+f(-x)) e h(x)=½(f(x)-f(-x)). Mostre depois que g=g(x) é par e que h=h(x) é ímpar.


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