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Ensino Superior: Álgebra Linear: Determinantes

"O Senhor pela sabedoria fundou a terra; pelo entendimento estabeleceu o céu."
Provérbios 3:19 A Bíblia Sagrada

Um tratamento mais simples

Apresentaremos inicialmente um estudo simplificado sobre o conceito de determinante, similar ao utilizado no âmbito do Ensino Médio no Brasil.

Como as matrizes tratadas neste estudo são quadradas, faz-se necessário identificar tais matrizes. Uma matriz quadrada A de ordem n será denotada por A=[aij] onde os índices i=1,2,...,n indicam as linhas e os índices j=1,2,...,n indicam as colunas da matriz. O elemento da linha i e da coluna j da matriz A será indicado por aij.

Matriz cofatora

Para cada elemento aij de uma matriz quadrada A de ordem n, podemos construir uma matriz cofatora, que é uma matriz de ordem n-1, construída pela retirada da linha i e da coluna j da matriz original A, multiplicada pelo número (-1)i+j. Uma notação para a matriz cofatora de posição (i,j) é Aij.


Exemplo: Para a matriz dada por:

A = esq a11  a12  a13
a21  a22  a23
a31  a32  a33
dir

a matriz cofatora A11 para o elemento a11 é a matriz de ordem 2 obtida da matriz A pela retirada da linha 1 e da coluna 1, multiplicada pelo número (-1)1+1:

A11 = (-1)1+1 esq a22  a23
a32  a33
dir = esq a22  a23
a32  a33
dir

A matriz cofatora A23 para o elemento a23 é a matriz de ordem 2 obtida da matriz A pela exclusão da linha 2 e da coluna 3, multiplicada pelo número (-1)2+3=-1:

A23 = (-1)2+3 esq a11  a12
a31  a32
dir = esq -a11  -a12
-a31  -a32
dir

As matrizes cofatoras Aij são conhecidas como matrizes menores pois uma matriz A de ordem n possui n×n matrizes cofatoras de ordem n-1.


Cofator relativo à posição ij, indicado por dij, é o determinante da matriz cofatora Aij, isto é: dij=det(Aij)


A Matriz adjunta associada à matriz A, denotada por adj(A), é a transposta da matriz com os (determinantes) cofatores dij da matriz A.

adj(A) = esq d11  d21  d31
d12  d22  d32
d13  d23  d33
dir

Alguns determinantes

Matriz de ordem 1: Para uma matriz A=[a11] com apenas um escalar (1 linha e 1 coluna), definimos:

det(A) = a11


Matriz de ordem 2: Para uma matriz quadrada A de ordem 2 (2 linhas e 2 colunas)

A = esq a11  a12
a21  a22
dir

Definimos o determinante de A como:

det(A) = a11 a22 - a21 a12


Matriz de ordem 3: Para uma matriz quadrada A de ordem 3 (3 linhas e 3 colunas)

A = esq a11  a12  a13
a21  a22  a23
a31  a32  a33
dir

definimos o determinante de A como:

det(A)=a11a22a33 +a13a21a32 +a12a23a31
         -a11a23a32 -a13a22a31 -a12a21a33


Apresentaremos agora uma definição mais geral que permite calcular recursivamente o determinante de uma matriz de ordem n como a combinação linear de n determinantes de matrizes de ordem n-1, em função das matrizes cofatoras.


Determinante desenvolvido por linhas

O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é um escalar denotado por det(A), construído a partir de qualquer uma das i linhas da matriz A, tal que:

det(A) = ai1det(Ai1)+ ai2det(Ai2) +…+ aindet(Ain)

ou de uma forma sintética

det(A) = sigmaj=1..n aij det(Aij)

para cada linha i=1,2,...,n fixada.

Em todas as situações acima, Aij significa a matriz de ordem n-1, obtida pela exclusão da linha i e da coluna j.


Determinante desenvolvido por colunas

O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é um escalar denotado por det(A), construído a partir de qualquer uma das j colunas da matriz A, tal que:

det(A) = a1jdet(A1j) + a2jdet(A2j) +…+ anjdet(Anj)

ou seja

det(A) = sigmai=1..n aij det(Aij)

para cada coluna j=1,2,...,n fixada.

As duas definições representam o mesmo número e são livres uma vez que podemos fixar qualquer linha ou qualquer coluna para obter qualquer uma das formas acima, conhecidas como expansões de Laplace.


Estudo mais refinado de determinantes

A partir daqui, definiremos o determinante como uma função n-linear alternada, forma normalmente tratada no âmbito do Ensino Superior no Brasil. Tal definição exige alguns conceitos algébricos importantes como o de permutação.

Permutação

O conjunto dos n primeiros números naturais, será denotado por In={1,2,3,...,n}. Por exemplo: I5={1,2,3,4,5}.

Uma permutação em In é uma função p:InsetaIn que é bijetora. Como o conjunto In é finito, a função p:InsetaIn é bijetora se, e somente se, p é injetora.

Cada permutação em In será indicada na forma:

p=
( 1
p(1)
2
p(2)
3
p(3)
...
...
n
p(n)
)

onde a primeira linha mostra os elementos do domínio In e a segunda linha mostra as respectivas imagens desses elementos através de p.


Exemplo: Existem apenas 2 funções bijetoras definidas sobre I2={1,2}. Tais permutações são:

p1=( 1
1
2
2
)   e   p2=( 1
2
2
1
)

O número de permutações em I2 é o fatorial de 2, isto é, 2!=2 e o conjunto dessas permutações é: P(2)={p1,p2}


Exemplo: Existem apenas 6 funções bijetoras definidas sobre I3={1,2,3}. Tais permutações são:

p1= ( 1
1
2
2
3
3
)   p2= ( 1
1
2
3
3
2
)   p3= ( 1
3
2
2
3
1
)
p4= ( 1
2
2
1
3
3
)   p5= ( 1
3
2
1
3
2
)   p6= ( 1
2
2
3
3
1
)

O número das permutações em I3 é o fatorial de 3, isto é, 3!=6 e o conjunto dessas permutações é: P(3)={p1,p2,p3,p4,p5,p6}.

Tomando o último exemplo como referência, tomemos a permutação:

p1= ( 1
1
2
2
3
3
)

A segunda linha coincide com a primeira e esta permutação é denominada a permutação identidade.

Consideremos a permutação:

p2= ( 1
1
2
3
3
2
)

Trocando o número 2 pelo número 3 na segunda linha, obtemos exatamente os números que aparecem na primeira linha.

p2= ( 1
1
2
3
3
2
) seta p1= ( 1
1
2
2
3
3
)

Considerando que só podemos trocar os números de dois em dois, necessitamos apenas de 1 troca para obter a identidade, assim o número de trocas dessa permutação é 1 que é um número ímpar.

Consideremos agora a permutação:

p5= ( 1
3
2
1
3
2
)

Trocando o número 3 pelo número 1 na segunda linha, obtemos uma outra permutação que ainda não é a identidade. Ainda devemos realizar uma segunda troca para obter a permutação identidade:

p5= ( 1
3
2
1
3
2
) seta p2= ( 1
1
2
3
3
2
) seta p1= ( 1
1
2
2
3
3
)

Neste caso, necessitamos de 2 trocas para obter a permutação identidade, assim o número de trocas dessa permutação é 2 que é um número par.


Paridade da permutação: Uma permutação é denominada par se necessita de um número par de trocas para transformá-la na identidade e é ímpar se necessita de um número ímpar de trocas para transformá-la na identidade.


O Sinal de uma permutação é definido pela função:

sgn(p)= {  1 se p é par
-1 se p é ímpar

Exemplo: Com relação às 6 permutações possíveis definidas sobre I3, temos que p1, p5 e p6 são pares e p2, p3 e p4 são ímpares.

A função determinante (por permutações)

Seja Mn(K) o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem n com escalares em um corpo K e P(n) o conjunto de todas as permutações de elementos de In={1,2,3,...,n}. Definimos a função determinante det:Mn(K)setaK que associa a cada matriz AemMn(K), o escalar denotado por det(A), por:

det(A) = sigmapemP(n) sgn(p) a1p(1) a2p(2)a3p(3)...anp(n)

sendo que a soma acima deve ser realizada sobre todas as permutações p que pertencem ao conjunto P(n).

Realiza um papel fundamental a indicação dos índices j e p(j). O primeiro j aponta para a linha onde está o elemento aj p(j) enquanto que o segundo p(j) aponta para a coluna do elemento aj p(j).


Exemplo (matriz de ordem 1): Seja A=[a11]. O elemento desta matriz pode ser escrito em função da única permutação de P(1)={p} e como p(1)=1, segue que

det(A) = sgn(p) a1p(1) = a11

que coincide com a forma apresentada antes.


Exemplo (matriz de ordem 2): Seja a matriz

A = [ a11 a12
a21 a22
]

Cada elemento desta matriz pode ser escrito em função das 2 permutações de P(2):

p1=(1
1
2
2
)  e  p2=(1
2
2
1
)

segue que p1(1)=1, p1(2)=2, p2(1)=2, p2(2)=1, sgn(p1)=1 e sgn(p2)=-1, logo:

det(A)= sigmapemP(2) sgn(p) a1 p(1) a2 p(2)
 =sgn(p1) a1p1(1)a2p1(2) +sgn(p2) a1p2(1)a2p2(2)
 =(+1) a11 a22 + (-1) a12a21
 =a11 a22 - a12 a21

que coincide com a forma apresentada antes.


Exemplo (matriz de ordem 3): Tomemos a matriz

A = esq a11  a12  a13
a21  a22  a23
a31  a32  a33
dir

Cada elemento desta matriz pode ser escrito em função das 6 permutações de P(3):

p1=(1
1
2
2
3
3
)   p2=(1
1
2
3
3
2
)   p3=(1
3
2
2
3
1
)
p4=(1
2
2
1
3
3
)   p5=(1
3
2
1
3
2
)   p6=(1
2
2
3
3
1
)

segue que

p1(1)=1, p1(2)=2, p1(3)=3
p2(1)=1, p2(2)=3, p2(3)=2
p3(1)=3, p3(2)=2, p3(3)=1
p4(1)=2, p4(2)=1, p4(3)=3
p5(1)=3, p5(2)=1, p5(3)=2
p6(1)=2, p6(2)=3, p6(3)=1
sgn(p1)=sgn(p5)=sgn(p6)=+1
sgn(p2)=sgn(p3)=sgn(p4)=-1

Assim:

det(A)=sigmapemP(3) sgn(p) a1 p(1) a2 p(2) a3 p(3)
 = sgn(p1) a1 p1(1) a2 p1(2) a3 p1(3)
  +sgn(p2) a1 p2(1) a2 p2(2) a3 p2(3)
  +sgn(p3) a1 p3(1) a2 p3(2) a3 p3(3)
  +sgn(p4) a1 p4(1) a2 p4(2) a3 p4(3)
  +sgn(p5) a1 p5(1) a2 p5(2) a3 p5(3)
  +sgn(p6) a1 p6(1) a2 p6(2) a3 p6(3)
 =a11 a22 a33+a13 a21 a32+a12 a23 a31
  -a11 a23 a32-a13 a22 a31-a12 a21 a33

que coincide com a forma apresentada antes.


Existe uma notação para o determinante de uma matriz quadrada A=[aij] que é a colocação de uma barra vertical à esquerda e outra à direita dos elementos da matriz:

A = |
|
|
|
|
a11  a12  ...  a1n
a21  a22  ...  a2n
a31  a32  ...  a3n
.....  .....  ....  .....
an1  an2  ...  ann
|
|
|
|
|

Partição de uma matriz quadrada de ordem n

Em geral, uma matriz quadrada A=[aij] de ordem n pode ser escrita na forma:

A = esq a11  a12  ...  a1n
a21  a22  ...  a2n
.....  .....  ...  .....
an1  an2  ...  ann
dir

Esta matriz A pode ser particionada em n linhas:

A = esq L1
L2
...
Ln
dir

sendo que para cada i=1,2,3,...,n, a linha i é um vetor da forma:

Li = (ai1, ai2, ai3, ..., ain)

Esta mesma matriz A pode ser particionada em n colunas:

A = [C1, C2, C3, ..., Cn]

sendo que para cada j=1,2,3,...,n, a coluna j é um vetor da forma:

Cj = esq a1j
a2j
...
anj
dir

Propriedades da função determinante

  1. Aditividade para cada linha (ou coluna): A função determinante é aditiva para cada linha (ou coluna) desde que sejam mantidas fixas todas as outras linhas (ou colunas).

    |
    |
    |
    |
    |
    a11
    a21
    ...
    x1
    a12
    a22
    ...
    x2
    ...
    ...
    ...
    ...
    a1n
    a2n
    ...
    xn
    |
    |
    |
    |
    |
    + |
    |
    |
    |
    |
    a11
    a21
    ...
    y1
    a12
    a22
    ...
    y2
    ...
    ...
    ...
    ...
    a1n
    a2n
    ...
    yn
    |
    |
    |
    |
    |
    = |
    |
    |
    |
    |
    a11
    a21
    ...
    x1+y1
    a12
    a22
    ...
    x2+y2
    ...
    ...
    ...
    ...
    a1n
    a2n
    ...
    xn+yn
    |
    |
    |
    |
    |
  2. Homotetia para cada linha (ou coluna): A função determinante é homotética para cada linha (ou coluna) desde que sejam mantidas fixas todas as outras linhas (ou colunas).

    |
    |
    |
    |
    |
    a11
    a21
    ...
    an1
    k.a12
    k.a22
    ...
    k.an2
    ...
    ...
    ...
    ...
    a1n
    a2n
    ...
    ann
    |
    |
    |
    |
    |
    = k |
    |
    |
    |
    |
    a11
    a21
    ...
    an1
    a12
    a22
    ...
    an2
    ...
    ...
    ...
    ...
    a1n
    a2n
    ...
    ann
    |
    |
    |
    |
    |
  3. Se In é a matriz identidade de ordem n, então det(In)=1.

  4. Se A é uma matriz quadrada com uma linha nula (ou coluna nula), então det(A)=0.

  5. Se A é uma matriz quadrada com duas linhas (ou colunas), iguais então det(A)=0.

  6. Seja uma matriz quadrada A de ordem n, decomposta em linhas:

    A = esq L1
    ...
    Li
    ...
    Lj
    ...
    Ln
    dir

    Se B é uma matriz com as mesmas linhas que A exceto pela linha Li que é substituída pela soma das linhas Li e Lj da matriz A, isto é:

    B = esq L1
    ...
    Li+Lj
    ...
    Lj
    ...
    Ln
    dir

    então det(B)=det(A).

    Usando a aditividade sobre a linha i, segue que:

    det(B) = det esq L1
    ...
    Li+Lj
    ...
    Lj
    ...
    Ln
    dir = det esq L1
    ...
    Li
    ...
    Lj
    ...
    Ln
    dir + esq L1
    ...
    Lj
    ...
    Lj
    ...
    Ln
    dir =det(A)

    O último determinante é nulo pois a matriz respectiva possui duas linhas iguais. Esta propriedade vale para soma de linhas como para soma de colunas.

  7. Se o conjunto das linhas {L1,L2,…,Ln} ou o conjunto das colunas {C1,C2,…,Cn} de uma matriz quadrada A forma um conjunto linearmente independente em Rn, então det(A) é diferente de zero.

  8. Alternada: Se B é uma matriz obtida a partir da matriz quadrada A pela troca de duas linhas (ou colunas), então: det(B) = -det(A).

    det esq L1
    ...
    Li
    ...
    Lj
    ...
    Ln
    dir = -det esq L1
    ...
    Lj
    ...
    Li
    ...
    Ln
    dir
  9. O determinante do produto de duas matrizes quadradas é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes, isto é:

    det(AB) = det(A) det(B).

  10. O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante da sua transposta At, i.e.

    det(At) = det(A).

  11. Se A é uma matriz quadrada, então:

    A adj(A) = adj(A) A = det(A) In.

  12. O determinante da inversa de uma matriz A é igual ao inverso do determinante de A.

    det(A-1) = [det(A)]-1

  13. Se uma matriz M pode ser particionada em blocos na forma:

    M = [ A  0
    B  C
    ]

    em que A e C são matrizes quadradas, então

    det(M) = det(A) det(C)

  14. Se A e B são matrizes quadradas semelhantes, isto é, existe uma matriz P tal que A=P-1BP, então

    det(A) = det(P-1BP) = det(B)


Exercícios:

  1. Para a matriz A=[aij] de ordem n definida por aij=ij-1, mostrar que

    det(A) = 1! 2! 3! 4! ... (n-1)!

  2. Para a matriz A=(aij) de ordem 2 definida por aij=i+j, calcular f(t)=det(A-tI2) e resolver a equação do segundo grau f(t)=0.

  3. Para a matriz definida por:

    M = [ a  b
    c  d
    ]

    calcular f(t)=det(A-tI2) e resolver a equação do segundo grau f(t)=0.


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