Propriedades distributivas

Seja K um conjunto não vazio sobre o qual podem ser definidas duas aplicações binárias e e sejam x,y,z K. Diz-se que a aplicação é distributiva em relação à aplicação se

x(yz) = xy xz

e que a operação é distributiva em relação à operação se:

(xy)z = xz yz

Exemplo: Seja o conjunto K={0,1,2,3} com a adição e a multiplicação , definidas pelas tabelas:

0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2	0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 3 1 3 0 3 1 2

Sobre este conjunto K, a multiplicação é distributiva em relação à adição .

Nem sempre as palavras adição e multiplicação têm os significados comuns que conhecemos do ensino fundamental.

Corpo

Seja K um conjunto não vazio sobre o qual podem ser definidas as operações binárias e . a estrutura (K,,) é um corpo se:

1. (K,) é um grupo abeliano;

2. (K– {0},) é um grupo abeliano;

3. é distributiva em relação à operação .

Para saber sobre grupo abeliano, visite o link grupos.

Exemplos:

1. A estrutura (Z,+,.), em que Z é o conjunto dos números inteiros com as operações usuais de adição e multiplicação, não representa um corpo.

2. A estrutura (Q,+,.), em que Q é o conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação, representa um corpo.

3. A estrutura (R,+,.), em que R é o conjunto dos números reais com as operações usuais de adição e multiplicação, representa um corpo.

4. A estrutura (C,+,.), em que C é o conjunto dos números complexos com as operações usuais de adição e multiplicação, representa um corpo.

5. O conjunto K={0,1,2,3} munido com as operações de adição e multiplicação , definidas pelas tabelas:

   0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2	0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 3 1 3 0 3 1 2

   representa um estrutura de corpo com uma quantidade finita de elementos.

   
   

Propriedades do elemento nulo em um corpo

Seja K=(K,,) um corpo.

1. Se 0 é o elemento neutro aditivo em K, então para todo xK, tem-se que: x0=0x=0.

2. Para todos x,yK, tem-se: xy=(–x)(–y).

3. Para todos x,yK, tem-se: (–x)y=x(–y)=(xy).

4. Se x,yK e xy=0, então x=0 ou y=0.

5. Se x,yK e xy0, então x0 e y0.

Isomorfismo de corpos

Se (S,+,*) e (T,,) são corpos, a aplicação f:ST é um isomorfismo entre estes corpos, se:

1. f é uma bijeção f:ST;

2. f:(S,+) (T,) é um isomorfismo de grupos;

3. f:(S– {0},*)(T– {0},) é um isomorfismo de grupos.

Para saber sobre isomorfismo de grupos, visite o link grupos.

Para esta aplicação f:ST e para quaisquer x,yS, valem as seguintes propriedades:

Soma	f(x+y) = f(x) f(y)
Produto	f(x*y) = f(x) f(y)

Quando existe um isomorfismo entre o corpo (S,+,*) e o corpo (T,,), tais corpos são denominados isomorfos.

Em geral, utilizamos apenas o sinal + no lugar de e o sinal * ou o sinal . no lugar de .

Propriedades gerais em um corpo

Sejam K=(K,+,.) um corpo e os elementos x,y,z,a,bK. Demonstrar que:

1. Se 0K é o elemento neutro aditivo, então -0=0.

2. –(x+y)=(–x)+(–y)=–x–y.

3. –(x-y)=y–x.

4. Se eK é o elemento neutro multiplicativo, então e^-1=e.

5. x/y=0 se, e somente se, x=0.

6. Se x0 e x.y=x.z então y=z.

7. Se x0 e y=z então x.y=x.z.

8. Se y0 e w0 então

   x y	+	z w	=	x.w + y.z y.w

9. Se y 0 e w 0 então

   x y	.	z w	=	x.z y.w

10. x.(y–z)=x.y–x.z.

11. (x–y)+(y–z)=x–z.

12. (x–y)–(z–y)=x–z.

13. (x–y).(z–w)=(x.z+y.w)–(x.w+y.z).

14. x–y=z-w se, e somente se, x+w=y+z.

15. A equação a.x+b=0 tem uma única solução se a0.

16. A equação a.x+b=0 não tem solução se a=0 e b0.

17. A equação a.x+b=0 tem infinitas soluções se a=b=0.

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