Problema

Sejam as equações

a x + b y = k
c x + d y = l
e x + f y = m

Quais são as condições que devem ser impostas aos termos independentes k, l e m para que o sistema seja consistente? A condição k=l=m, é falsa, pois existem:

1. Sistemas Consistentes: que não satisfazem à relação k=l=m.

   1 x + 4 y = 4
   4 x + 1 y = 4
   5 x + 5 y = 8

   A solução é x’=y’=4/5 mas k=l=4 e m=8.

2. Sistemas Inconsistentes: satisfazendo à relação k=l=m.

   1 x + 4 y = 1
   2 x + 2 y = 1
   3 x  - 2 y = 1

   Este sistema não possui solução, mas k=l=m=1.

Solução trivial

Se k=l=m=0, as três retas passam pela origem e a solução simples para o problema é x=y=0. Existem outras soluções não triviais.

Situação hipotética

Se nós assumirmos que existe um ponto (x’,y’) no plano XY, pertencente às três retas, então valerá a condição:

a x’ + b y’ = k
c x’ + d y’ = l
e x’ + f y’ = m

Como o sistema original pode ser transladado para um novo sistema de eixos passando pelo ponto (x',y'), construímos um outro sistema:

a (x-x’) + b (y-y’) = k - a x’ - b y’ = 0
c (x-x’) + d (y-y’) = l - c x’ - d y’ = 0
e (x-x’) + f (y-y’) = m - e x’ - f y’ = 0

Este sistema possui solução x=x’ e y=y’.

Análise da consistência com 2 equações

Consideraremos inicialmente duas retas quaisquer do sistema. Por simplicidade, tomaremos as duas primeiras:

a x + b y = k
c x + d y = l

A Regra de Cramer garante que:

1. C1: Existe uma única solução, se ad-bc é não nulo, e, neste caso, as retas são concorrentes.

2. C2: Existem infinitas soluções, se ad-bc=0, al-ck=0 e bl-dk=0, e, neste caso, as retas são coincidentes.

Análise de C1: Uma única solução

Se existe uma única solução x=x’ e y=y’, então

a x’ + b y’ = k
c x’ + d y’ = l

e o sistema transladado pode ser escrito na forma:

a (x-x’) + b (y-y’) = 0
c (x-x’) + d (y-y’) = 0

Análise de C2: Infinitas soluções

Se há infinitas soluções da forma x=x’ e y=y’, as retas coincidem, garantindo que há infinitos (x’,y’), tal que

a x’ + b y’ = k
c x’ + d y’ = l

e de novo, o sistema transladado pode ser escrito como:

a (x-x’) + b (y-y’) = 0
c (x-x’) + d (y-y’) = 0

Análise da consistência com as 3 equações

Voltemos ao sistema original, com as três equações:

a x + b y = k
c x + d y = l
e x + f y = m

Devemos analisar dois casos.

3. C3: Uma única solução, quando a solução x=x’ e y=y’ do sistema formado pelas duas primeiras equações, satisfaz também à terceira equação. O ponto P=(x’,y’) é a interseção das três retas concorrentes.

4. C4: Infinitas soluções, quando as três retas são coincidentes.

Análise de C3: Uma única solução

Se há uma única solução para o sistema formado pelas duas primeiras retas, digamos x=x’ e y=y’, então segue que

a x’ + b y’ = k
c x’ + d y’ = l

Se o ponto (x’,y’) pertence à reta ex+fy=m, então

e x’ + f y’ = m

e todo o sistema transladado pode ser escrito como:

a (x-x’) + b (y-y’) = 0
c (x-x’) + d (y-y’) = 0
e (x-x’) + f (y-y’) = 0

Análise de C4: Infinitas soluções

Se há infinitas soluções da forma x=x’ e y=y’, as retas coincidem, garantindo que há infinitos (x’,y’), tal que

a x’ + b y’ = k
c x’ + d y’ = l
e x’ + f y’ = m

e novamente, o sistema transladado pode ser escrito:

a (x-x’) + b (y-y’) = 0
c (x-x’) + d (y-y’) = 0
e (x-x’) + f (y-y’) = 0

Condição correta

Nos quatro casos possíveis, o sistema original terá solução se, existir um ponto (x’,y’) satisfazendo à condição:

a x’ + b y’ = k
c x’ + d y’ = l
e x’ + f y’ = m

Criatividade

Criatividade 2-dimensional linear

Tome um ponto fixo P=(x’,y’) no plano R² e construa um feixe de retas passando por P, isto é, uma coleção de retas:

y - y’ = n (x - x’)

onde n (coeficiente angular) é um número real. Ainda existe uma reta vertical x=x’ que passa por P.

Tomaremos apenas n como um número natural e já teremos uma coleção com infinitas retas passando por P=(x’,y’), como por exemplo a coleção que aparece na tabela:

Podemos construir infinitos sistemas consistentes com 3 equações e 2 incógnitas em que os termos independentes não são iguais.

Criatividade 3-dimensional linear

Tome um ponto fixo P=(x’,y’,0) em R³ e construa um feixe de retas passando por P, contidas no plano z=0, isto é, uma coleção de retas da forma

y - y’ = n (x - x’),  z = 0

onde n é um número real. Ainda existe a reta x=x’ no plano z=0 que passa por P.

Há infinitas retas contidas no plano z=0 que passam pelo ponto P. Se você "levantar" verticalmente todas estas retas, você terá um feixe de planos verticais no espaço R³, todos eles passando pelo ponto P. Podemos construir infinitos sistemas consistentes com 3 equações e 2 incógnitas em que os termos independentes não são iguais.

Criatividade n-dimensional linear

Tome um ponto fixo P=(p₁,p₂,0,...,0) no hiperplano

H = {x=(x₁,x₂, ..., x_n) em Rⁿ : x₃ = x₄ = ... = x_n = 0 }

e construa um feixe de retas contidas nesse hiperplano H que passam por P=(p₁,p₂,0,...,0), isto é, uma coleção de retas da forma

x₂ - p₂ = q (x₁ - p₁),    x₃ = x₄ = ... = x_n = 0

onde q é um número real. Ainda existe a reta x₁=p₁ no hiperplano H que passa por P. Há infinitas retas passando por P=(p₁,p₂,0,...,0). Se você "levantar" todas estas retas no espaço Rⁿ, você terá um feixe de hiperplanos, todos eles passando pelo ponto P. Assim, podemos construir infinitos sistemas consistentes com 3 equações e 2 incógnitas em que os termos independentes não são iguais.

Criatividade ampliada não linear

Após a nossa análise linear, amplie a sua criatividade com um estudo para outros tipos de curvas, como as cônicas: circunferências, elipses, parábolas, hipérboles, ou outro tipo. Por exemplo, considere o sistema com as três equações (possivelmente cônicas) em R².

a₁ x² + b₁ y² +2c₁ xy + 2d₁ x + 2e₁ y = f₁
a₂ x² + b₂ y² +2c₂ xy + 2d₂ x + 2e₂ y = f₂
a₃ x² + b₃ y² +2c₃ xy + 2d₃ x + 2e₃ y = f₃

Quais são as condições que devem ser impostas a f₁, f₂ e f₃ para que o sistema seja consistente?

Exemplo: Estude o sistema com 3 circunferências em R²:

x² + y² + a x + b y = k
x² + y² + c x + d y = l
x² + y² + e x + f y = m

Quais são as condições que devem ser impostas a k, l e m, para que o sistema seja consistente? Embora este sistema seja bastante parecido com o primeiro sistema apresentado, a solução é muito diferente!

	Construída por Ulysses Sodré.