Introdução aos autovalores

Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K, A uma matriz quadrada de ordem n e T:VV uma transformação linear, definida para cada vV por:

T(v) = A.v

Pergunta: Será que existe algum vetor vV, cuja imagem T(v) pela transformação T tenha a mesma direção que o vetor v, ou seja, será que existe um escalar µK tal que

T(v) = µ v

O vetor nulo tem essa propriedade para qualquer escalar, mas observamos que o vetor nulo não pode ser utilizado em uma base do espaço vetorial V, objetivo fundamental no contexto do estudo de autovalores e autovetores.

Estamos procurando vetores vV e escalares µK para os quais

T(v) = A.v = µ v

Subjacente ao processo de descoberta desses escalares e vetores estão as soluções de muitos problemas aplicados da Matemática, Física, Engenharias Civil e Elétrica, etc.

Autovalores e Autovetores

Seja A uma matriz quadrada de ordem n sobre um corpo K. Se existe um escalar µK e um vetor v0 tal que:

A.v = µ v

este escalar µ é denominado um autovalor de A e v é um autovetor associado a este escalar µ.

Sinônimos para autovalor são: valor próprio e valor característico.

Exemplo 1: Seja uma matriz A e um vetor vR³ tal que:

Observamos que:

Procuramos escalares µ tal que A.v=µv, isto é:

Devemos resolver o sistema com as três equações:

(1–µ) x = 0, (2–µ) y = 0,  (3–µ) z = 0

com a condição que v^t=(x,y,z)(0,0,0).

Usamos a notação v^t=(x,y,z) para indicar a transposta do vetor coluna com os elementos x, y e z.

Temos três possibilidades para os autovalores.

1. Se x0 então µ=1. Com tais valores nas outras equações segue que y=0 e z=0. Um vetor com estas propriedades é u=(1,0,0)^t.

2. Se y0 obtemos µ=2, o que implica que x=0 e z=0. Um vetor com estas propriedades é v=(0,1,0)^t.

3. Se z0 então µ=3, garantindo que x=0 e y=0. Um vetor com estas propriedades é w=(0,0,1)^t.

Neste caso específico, concluímos que para cada autovalor existe um único autovetor associado.

Exemplo 2: Seja uma matriz A e um vetor vR³ tal que:

Como

Devemos obter escalares µ tal que A.v=µv, isto é:

Basta resolver o sistema de equações

(1–µ) x = 0, (2–µ) y = 0,  (2–µ) z = 0

exigindo que v^t=(x,y,z)(0,0,0).

Existem duas possibilidades para os autovalores.

1. Se x0 então µ=1,y=0 e z=0. Um vetor com estas propriedades é u=(1,0,0)^t.

2. Se y0 então µ=2 e x=0, mas existem infinitos valores para z, inclusive z=0. Um vetor com estas propriedades é v=(0,1,0)^t.

3. Se z0 então µ=2 e x=0, mas existem infinitos valores para y, inclusive y=0. Um vetor com estas propriedades é w=(0,0,1)^t.

Neste caso, observamos que para o autovalor µ=1 existe apenas um autovetor, mas para o autovalor µ=2 existem dois autovetores.

Exemplo 3: Seja uma matriz A e um vetor vR³ tal que:

Como

Devemos obter escalares µ tal que A.v=µv, isto é:

Basta resolver o sistema de equações

(2–µ) x = 0, (2–µ) y = 0,  (2–µ) z = 0

exigindo que v^t=(x,y,z)(0,0,0).

Aqui temos um único autovalor µ=2. Realmente, se x0 ou y0 ou z0 ou xyz0 então µ=2, garantindo que existem infinitos valores para x, y e z, mas escolheremos três simples:

1. Com x=1, y=0 e z=0, obtemos u=(1,0,0)^t.

2. Com x=0, y=1 e z=0, obtemos v=(0,1,0)^t.

3. Com x=0, y=0 e z=1, obtemos w=(0,0,1)^t.

Observamos que o mesmo autovalor µ=2 gerou três autovetores.

Autoespaço associado ao autovalor

Levando em consideração os três exemplos, tem sentido definir o conceito de autoespaço associado a cada autovalor.

Se µ é um autovalor de uma matriz A, definimos o autoespaço associado a µ como o conjunto de todos os vetores obtidos pela combinação linear dos autovetores associados a µ. Denotamos este conjunto por:

S(µ) = {v V: A.v=µv }

Proposição: O conjunto S(µ) é um subespaço vetorial de V gerado pelos autovetores associados a µ.

Demonstração: O vetor nulo não é um autovetor mas 0S(µ) pois A.0=µ0.

Se vS(µ) e wS(µ), então A.v=µv e A.w=µw, logo

A(v+w) = A.v+A.w = µv + µw = µ(v+w)

e concluímos que v+w S(µ).

Analogamente, se kK e vS(µ), então:

A(kv) = µ(kv)

e concluímos que kvS(µ).

Polinômio característico

Ao invés de trabalhar diretamente com a resolução de sistemas como nos exemplos apresentados, existe um processo mais simples para obter os autovalores de A.

Se A é uma matriz nxn sobre K e I é a matriz identidade de mesma ordem que A, definimos o polinômio característico de A como:

f(µ) = det(µI–A)

Exemplo: Seja a matriz definida por:

Assim:

Algumas vezes vemos na literatura o polinômio característico da matriz A definido na forma trocada

f(µ) = det(A–µI)

Lema: Seja M uma matriz quadrada de ordem n. Um sistema M.v=0 tem solução não trivial se, e somente se, det(M)=0.

Teorema: Os autovalores de uma matriz quadrada A de ordem n são os zeros do polinômio característico de A, isto é, escalares µ para os quais f(µ)=0.

Demonstração: Os autovalores da matriz A podem ser obtidos a partir da exist|ncia de escalares µ e vetores não nulos v=(x,y,z)^t para os quais: A.v=µv. Este sistema pode ser reescrito como A.v=µIv, ou seja:

(µI–A).v = 0

Este sistema terá uma solução não trivial se, e somente se, o determinante da matriz µI–A for nulo (consequência da Regra de Cramer), isto é:

det(A–µI) = 0

Observamos que det(A–µI) é uma função polinomial da variável µ, daí a razão de indicarmos esta expressão por:

f(µ) = det(A–µI)

A partir deste Teorema podemos obter os autovetores se resolvermos o sistema: (µI–A)v=0.

Exemplo: Seja a matriz dada por

O polinômio característico associado à matriz A é

f(µ) = µ³–4µ²+5µ–2

Como a soma dos coeficientes deste polinômio é igual a zero, µ=1 é um zero de f=f(µ) e f(1)=0.

Dividindo esta função polinômial por (µ–1), obtemos a forma decomposta: f(µ)=(µ–1)(µ²–3µ+2). Com a fórmula quadrática, obtemos: f(µ)=(µ–1)(µ–1)(µ–2), significando que os autovalores de A são:

µ=1, µ=1 e µ=2

Em geral, o sistema (µI–A)v=0 fica na forma

Para µ=1, o sistema toma a forma:

e este sistema se reduz a apenas uma equação: x–y–z=0. Como temos duas variáveis livres, podemos escrever x=y+z, para obter x em função de y e de z. Se y=1 e z=0 então x=1 e u=(1,1,0)^t é um autovetor. Se y=0 e z=1 então x=1 e v=(1,0,1)^t é outro autovetor.

Para µ=2, o sistema toma a forma:

e este sistema se reduz a apenas uma relação x=y=z. Tomando x=y=z=1, obtemos o terceiro autovetor da matriz A: w=(1,1,1)^t.

Matrizes Semelhantes

Duas matrizes A e B são semelhantes, se existe uma matriz inversível P tal que

A = P^–1B P

Em muitas situações, a matriz P é formada pelos autovetores da matriz A, postos em colunas.

Exercício: Seja a matriz A do exemplo anterior:

1. Construa uma matriz P que tem como colunas os autovetores u, v e w da matriz A.

2. Obtenha a inversa da matriz P.

3. Calcule a matriz D=P^–1AP semelhante a A.

4. Conclua algo sobre a posição dos autovalores na matriz D.

5. Verifique que traço(D)=traço(A).

6. Verifique que det(D)=det(A).

Exercício: Considere uma matriz A definida por:

1. Mostre que o polinômio característico de A é dado por: f(µ)=µ³–µ²–1.

2. Para obter os autovalores complexos de A, resolva a equação f(µ)=0, cujos zeros são:

   µ₁=1.46557, µ₂=–0.23279+0.79255 i, µ₃=–0.23279–0.79255 i

3. Obtenha os autovetores da matriz A.

4. Construa uma matriz P que tem como colunas os autovetores u, v e w da matriz A.

5. Obtenha a inversa da matriz P.

6. Calcule a matriz D=P^–1AP semelhante a A.

7. Conclua algo sobre os autovalores na matriz D.

8. Mostre que traço(D)~traço(A), onde ~ significa que o cálculo é aproximado.

9. Mostre que det(D)~det(A).

Matriz ortogonal

Uma matriz M é dita ortogonal se M^–1=M^t, isto é, se M.M^t=I.

Exemplo: Uma típica matriz ortogonal é a matriz de rotação ø radianos, definida por:

pois a inversa de R_ø é igual à transposta de R_ø.

Aplicação de autovalores em Geometria

Consideremos a curva plana definida pela forma quadrática

ax² +2bxy +cy² = d

onde a²+b²+c²0.

Podemos reescrever o membro da esquerda da equação acima, como:

onde

Pergunta: Será que podemos escrever x e y em função de duas novas variáveis X e Y (em maiúscula) de modo que a nova forma quadrática nessas variáveis X e Y, não possua o termo em XY para que a forma quadrática fique na forma

A X² + XY² = D

Esta nova forma recebe o nome de forma canônica.

Uma resposta adequada é dada pela rotação de eixos, uma vez que o termo em xy que aparece na primeira equação é responsável pela inclinação dos eixos principais associados à curva no sistema cartesiano.

Como a matriz de rotação de ø radianos é dada por:

podemos realizar a mudança de variáveis com:

Tomando P=R(ø) na relação acima, podemos escrever:

Como a matriz P é ortogonal, podemos escrever:

v^tAv=(PW)^tA(PW)=W^t P^t APW=W^t(P^–1AP)W=d

Escolhendo o valor de ø em função das constantes a, b e c da forma quadrática, poderemos escrever a matriz:

e a nova forma quadrática:

p X² + q Y² = k

não contém o termo em XY.

Conclusão: Os valores p e q são os autovalores da matriz A e a matriz P é a matriz cujas colunas são os autovetores obtidos a partir da matriz A.

Aplicação de autovalores em Eq. Diferenciais

Consideremos a equação diferencial ordinária (EDO)

2 y"(x) – 6y'(x) + 4y(x) = 0

O polinômio característico associado a esta EDO é dado por:

p(k) = 2k² –6k +4

cujos zeros são k₁=1 e k₂=2 (autovalores). As autofunções são: y₁(x)=exp(k₁x) e y₂(x)=exp(k₂x) (autovetores), garantindo que:

W = {y₁(x), y₂(x) } = {exp(1x), exp(2x) }

é o conjunto de autofunções e a solução geral da EDO é a combinação linear dos elementos de W:

y(x) = A exp(x) + B exp(2x)

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