Ensino Médio: Sistemas Lineares

Introdução aos sistemas lineares

Esta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.

Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

Tipo do Recipiente I IIIII
A432
B523
C223

Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?

Montagem do sistema linear

4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42
3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 27
2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33

Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.


Equação linear

É uma equação da forma

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

onde

Exemplos de equações lineares

  1. 4 x + 3 y - 2 z = 0

  2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3

  3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1

  4. 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i

Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x>0.

Exemplos de equações não-lineares

  1. 3 x + 3y R[x] = -4

  2. x2 + y2 = 9

  3. x + 2 y - 3 z w = 0

  4. x2 + y2 = -9


Solução de uma equação linear

Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é:

a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1

Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 na equação dada, teremos:

2×5 + 3×6 - 2×7 = 14


Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

onde


Solução de um sistema de equações lineares

Uma sequência de números (r1,r2,...,rn) é solução do sistema linear:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.

Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:

2x + y = 4
x + 3y = 2
x + 5y = 2

pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.


Consistência de Sistemas Lineares

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:

Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.

  1. Se tem uma única solução, o sistema é determinado.

  2. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.

Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.


Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções

Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.

x + 2y = -1
2x - y = 8

Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).

4x + 2y = 100
8x + 4y = 200

Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.

x + 3y = 4
x + 3y = 5


Sistemas equivalentes

Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.

Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:

S13x + 6y = 42
2x - 4y = 12
S21x + 2y = 14
1x - 2y =  6

pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.

Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.


Operações elementares sobre sistemas lineares

Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

  1. Troca de posição de duas equações do sistema

    Troca a Linha 1 com a Linha 3
    x + 2y - z = 2
    2x-3y+2z=0
    4x + y - 5z = 9
    ~ 4x + y - 5z = 9
    2x-3y+2z=0
    x + 2y - z = 2
  2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo

    Multiplica a Linha 1 pelo número 3
    x + 2y - z = 2
    2x-3y+2z=0
    4x+y-5z=9
    ~ 3x + 6y - 3z = 6
    2x-3y+2z=0
    4x+y-5z=9
    A equação resultante fica na linha 1
  3. Adição de duas equações do sistema

    Adição da Linha 2 com a Linha 3
    x+2y-z=2
    2x -3y + 2z = 0
    4x + y - 5z = 9
    ~ 3x+6y-3z=6
    2x-3y+2z=0
    6x - 2y - 3z = 9
    A equação resultante fica na linha 3

Resolução de sistemas lineares por escalonamento

Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.

Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.

3x + y + z = 20
2x - y - z = -15
-4x + y -5z = -41

Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i.

Passo 1: L1-L2->L1
3x + 1y + 1z = 20
2x - 1y - 1z = -15
-4x+1y-5z=-41
~ 1x + 2y + 2z = 35
2x-1y-1z=-15
-4x+1y-5z=-41

Passo 2: L2-2.L1->L2
1x + 2y + 2z = 35
2x - 1y - 1z = -15
-4x+1y-5z=-41
~ 1x+2y+2z=35
0x - 5y - 5z = -85
-4x+1y-5z=-41

Passo 3: L3+4.L1->L3
1x + 2y + 2z = 35
0x-5y-5z=-85
-4x + 1y - 5z = -41
~ 1x+2y+2z=35
0x-5y-5z=-85
0x + 9y + 3z = 99

Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3
1x+2y+2z=35
0x - 5y - 5z = -85
0x + 9y + 3z = 99
~ 1x+2y+2z=35
0x + 1y + 1z = 17
0x + 3y + 1z = 33

Passo 5: L3-3.L2->L3
1x+2y+2z=35
0x + 1y + 1z = 17
0x + 3y + 1z = 33
~ 1x+2y+2z=35
0x+1y+1z=17
0x + 0y - 2z = -18

Passo 6: (-1/2)L3->L3
1x+2y+2z=35
0x+1y+1z=17
0x + 0y - 2z = -18
~ 1x+2y+2z=35
0x+1y+1z=17
0x + 0y + 1z = 9

Passo 7: L2-L3->L2
1x+2y+2z=35
0x + 1y + 1z = 17
0x + 0y + 1z = 9
~ 1x+2y+2z=35
0x + 1y + 0z = 8
0x+0y+1z=9

Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1
1x + 2y + 2z = 35
0x + 1y + 0z = 8
0x + 0y + 1z = 9
~ 1x + 0y + 0z = 1
0x+1y+0z=8
0x+0y+1z=9

Passo 9: Simplificar coeficientes
1x + 0y + 0z = 1
0x + 1y + 0z = 8
0x + 0y + 1z = 9
~x = 1
y = 8
z = 9

Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.


Sistemas lineares homogêneos

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

Exemplo: O sistema

2x - y + 3z = 0
4x + 2y - z = 0
 x -  y + 2z = 0

é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0.


Regra de Cramer

Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X).

Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bn

A este sistema podemos associar algumas matrizes:

Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, é comum escrever Ax, Ay e Az.

Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(Aj) por det(A), isto é:

xj = det(Aj) / det(A)

Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada do sistema forem iguais a zero.

Um sistema impossível: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 27
1x - 2y + 3z = 15
3x + 1y + 7z = 40

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão mostradas abaixo.

234
1-23
317
23427
1-2315
31740

Como det(A)=0, devemos verificar se todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo o determinante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada:

2327
1-215
3140

Um sistema indeterminado: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos 40 por 42 na última linha!)

2x + 3y + 4z = 27
1x - 2y + 3z = 15
3x + 1y + 7z = 42

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema, estão abaixo:

234
1-23
317
23427
1-2315
31742

Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos, então o sistema é possível e indeterminado. Neste caso, observamos que a última linha é a soma das duas primeiras e como estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y em função de z.

Um sistema com solução única: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 27
1x - 2y + 3z = 15
3x + 1y + 6z = 40

A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo.

234
1-23
316
27
15
40

Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes Ax, Ay e Az, e tais matrizes são obtidas pela substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos termos independentes das três equações, temos:

Ax=2734
15-23
4016
Ay=2274
1153
3406
Az=2327
1-215
3140

Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a solução do sistema é dada por:

x = det(Ax)/det(A) = 65/7
y = det(Ay)/det(A) =  1/7
z = det(Az)/det(A) = 14/7


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