Ensino Médio: Determinantes

Determinante de uma matriz quadrada

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:

A=a11a12
a21a22

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:

det(A) = a11 a22 - a21 a12

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:

A=a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

definimos o determinante de A, como:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
               - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13


Regra prática de Sarrus

Dada a matriz A de ordem 3:

A=a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.

a11a12a13a11a12
a21a22a23a21a22
a31a32a33a31a32

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.

a11a12a13a11a12
a21a22a23a21a22
a31a32a33a31a32
Produto cor amarela+a11a22a33
Produto cor verde+a12a23a31
Produto cor azul+a13a21a32

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.

a11a12a13a11a12
a21a22a23a21a22
a31a32a33a31a32
Produto cor rosa-a11a22a33
Produto cor bege-a12a23a31
Produto cor khaki-a13a21a32

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13

Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.


Propriedades dos determinantes

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.

  1. Se In é a matriz identidade, então:

    det(In) = 1

  2. Se N é uma matriz nula, então:

    det(N) = 0

  3. Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:

    det(A) = 0

  4. A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é:

    det(At) = det(A)

  5. Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:

    det(B) = k det(A)

  6. Se B=kA, onde k é um escalar, então:

    det(B) = kn det(A)

  7. Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:

    det(B) = - det(A)

  8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:

    det(A) = 0

  9. Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então:

    det(A) = 0

  10. Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:

    det(A) = 0

  11. Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.

  12. Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.


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