Ensino Médio: Logaritmos

A hipérbole equilátera

Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole equilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante.

Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.


Definição de Logaritmo

O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.

A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usaremos a definição:

Ln(u)=área(1,u)

Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1). Assim:

Ln(1)=0

Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0.

O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.


Propriedades gerais dos logaritmos

Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas:

Propriedades básicas dos logaritmos naturais

  1. Ln(1)=0

  2. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)

  3. Ln(xk)=k.Ln(x)

  4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)


Algumas simplificações matemáticas

As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas para simplificar expressões matemáticas.

Exemplos:

  1. Ln(5)+4.Ln(3)=Ln(5)+Ln(34=Ln(5.34)=Ln(405)

  2. (1/2)Ln(4t²)-Ln(t)=Ln[(4t²)½]-Ln(t)=Ln(2), se t>0

  3. Ln(a)+L(b)-Ln(c)+Ln(10)=Ln(10a.b/c)

Exercício: Qual dos números é o menor: 2.Ln(3) ou 3.Ln(2)? Observamos que:

2 Ln(3) = Ln(3²) = Ln(9)
3 Ln(2) = Ln(2³) = Ln(8)

e como a função Ln é crescente, então:

3 Ln(2) = Ln(8)<Ln(9) = 2 Ln(3)


Base para um logaritmo

Existe um importante número real e=2,71828... (atribuído a Euler) tal que

Ln(e) = 1

A partir da observação anterior, o número e representa a base para os logaritmos naturais e poderemos escrever:

Ln(u) = Loge(u)

que lemos como "logaritmo do número real u na base e".

A partir do exposto acima, temos uma propriedade que possibilita a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo que ambas devem ser diferentes de 1.

Loga(b) = Ln(b) / Ln(a)

Exercício: Você saberia a razão pela qual não é possível definir logaritmo de um número na base 1?


Logaritmo decimal

No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e escrevemos:

y = Log(x)

para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10

  1. Log(1)=0

  2. Log(0) não tem sentido

  3. Log(10)=Log(101)=1

  4. Log(1/10)=Log(10-1)=-1

  5. Log(100)=Log(10²)=2

  6. Log(1/100)=Log(10-2)=-2

  7. Log(1000)=Log(10³)=3

  8. Log(1/1000)=Log(10-3)=-3

  9. Log(10n)=n

  10. Log(10-n)=-n

A partir da propriedade

Log 10n=n

temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar que para todo x real positivo vale a relação:

Log(10x) = x


Definição estranha de logaritmo

A última expressão mostrada acima é correta e existe uma outra relação muito mais geral do que esta, pois o Logaritmo de um número real positivo x na base b é igual ao número e se, e somente se, x pode ser escrito como a potência b elevada ao expoente e, isto é:

Logb(x) = e   se, e somente se,   x = be

Em livros de Matemática elementar, esta é tomada como a definição de Logaritmo de um número em uma certa base, o que é estranho pois tal definição é cíclica:


Cálculos de logaritmos de alguns números

Com a definição estranha é possível obter o um valor aproximado para o Log(2). Consideremos que y=Log(2) e 10y=2. Inicialmente, temos que Log(2) é positivo e menor do que 1, pois 1<2<10 assim

0<Log(2)<1

É interessante obter dois números que sejam potências de 2 e que estejam muito próximos de potências de 10.

Por exemplo:

1000<1024=210
8192=213<10000,

logo 1000<1024<8192<10000, assim, aplicando o logaritmo de base 10, teremos:

3<10 Log(2)<13 Log(2)<4

então

0,300=3/10<Log(2)<4/13=0,308

e a média aritmética entre 0,300 e 0,308 é 0,304, que é uma boa estimativa para Log(2), isto é:

Log(2)=0,304

O ideal é encontrar outras potências de 10 que estejam próximas de potências de 2, o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais potências:

IntervaloValoresMédia
1<2 <10 0<Log(2)<10,500
1<2²<10 0<Log(2)<1/20,250
10<24<10² 1/4<Log(2)<2/40,375
10<25<10² 1/5<Log(2)<2/50,300
10<26<10² 1/6<Log(2)<2/60,250
10²<28<10³ 2/8<Log(2)<3/80,313
10³<210<104 3/10<Log(2)<4/100,350
10³<211<104 3/11<Log(2)<4/110,318
10³<212<104 3/12<Log(2)<4/120,292
10³<213<104 3/13<Log(2)<4/130,269
104<214<105 4/14<Log(2)<5/140,321
104<215<105 4/15<Log(2)<5/150,300
104<216<105 4/16<Log(2)<5/160,282
105<217<106 5/17<Log(2)<6/170,393
105<218<106 5/18<Log(2)<6/180,306
105<219<106 5/19<Log(2)<6/190,289
106<220<107 6/20<Log(2)<7/200,325

Em Cálculo Diferencial e Integral, podemos desenvolver a função Ln através de uma série de potências de x para calcular logaritmos de números reais positivos com -1<x<1.

Ln(1+x) = x - (1/2) x² + (1/3) x³ - (1/4) x4 + (1/5) x5 + ...

Uma outra série mais eficiente, permite obter o valor de Ln(y) para qualquer y real desde que se saiba o valor de x para o qual y=(1+x)/(1-x).

Ln(y) = 2 [ x + (1/3) x³ + (1/5) x5 + (1/7) x7 + ... ]

Por exemplo, para obter Ln(3), tomamos y=3 e deveremos ter x=1/2 para satisfazer à relação y=(1+x)/(1-x).

Voltando ao estudo básico, Log(2)=0,3010299956639812... e com este valor, podemos obter os logaritmos das potências de 2, como por exemplo:

  1. Log(4)=Log(2²)=2Log(2)=0,60206

  2. Log(8)=Log(2³)=3Log(2)=0,90309

  3. Log(16)=Log(24)=4Log(2)=1,20412

  4. Log(32)=Log(25)=5Log(2)=1,50515

  5. Log(2n)=n.Log(2)

  6. Log(1/2)=Log(2-1)=(-1)Log(2)=-0,30103

  7. Log(1/4)=Log(2-2)=(-2)Log(2)=-0,60206

  8. Log(1/8)=Log(2-3)=(-3)Log(2)=-0,90309

  9. Log(1/16)=Log(2-4)=(-4)Log(2)=-1,20412

  10. Log(1/32)=Log(2-5)=(-5)Log(2)=-1,50515

  11. Log(2-n)=(-n).Log(2)

Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos.

Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que 5, mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais.

Exemplo: Usaremos Log(2)=0,301 e Log(3)=0,477, para calcular alguns logaritmos.

  1. Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-0,301=0,699

  2. Log(6)=Log(2.3)=Log(2)+Log(3)=0,301+0,477=0,778

  3. Log(8)=Log(2³)=3 Log(2)=0,903

  4. Log(9)=Log(3²)=2 Log(3)=0,954

Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode ser obtida com a média aritmética entre Log(6) e Log(8), isto é:

Log(7)=0,840


Característica e mantissa de um logaritmo na base 10

Se um número está entre duas potências consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a característica do logaritmo deste número e a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo.

Observação: Na tabela abaixo aparece o sinal negativo para o logaritmo apenas para o número que está antes da vírgula.

NúmeroLogaritmoCaracterísticaMantissa
0,002¯3,30103-30,30103
0,02¯2,30103-20,30103
0,2¯1,30103-10,30103
2 0,3010300,30103
20 1,3010310,30103
200 2,3010320,30103
2000 3,3010330,30103

Esta notação simplifica operações com logaritmos, visando mostrar que, se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo. Isto poderá ser observado na Tábua moderna de logaritmos que aparece no final desta Página.

¯3,30103 significa que apenas a característica é negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à mantissa que é um número positivo 0,30103 e isto significa que o resultado deve ser um número com um sinal negativo, isto é, -2,69897.


Tábua moderna de logaritmos

Para obter o logaritmo de um número positivo, não se esqueça de colocar o ponto decimal no lugar da vírgula.

Entrar com o número
Logaritmo do número

Exercício: Calcular Log(2), Log(20), Log(200) e Log(2000). Observou algo interessante sobre as características e mantissas desses logaritmos?


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