Ensino Médio: Teoria dos Conjuntos

Introdução aos conjuntos

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.


Alguns conceitos primitivos

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

  1. O conjunto de todos os brasileiros.

  2. O conjunto de todos os números naturais.

  3. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

  1. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.

  2. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.

  3. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

  1. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.

  2. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.

  3. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo in que se lê: "pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

1 in N

Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

0 notin N

Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.


Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.

  1. A={a,e,i,o,u}

  2. N={1,2,3,4,...}

  3. M={João,Maria,José}

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

  1. A={x: x é uma vogal}

  2. N={x: x é um número natural}

  3. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.


Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por AsubsetB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.


Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.


Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então AB={a,e,i,o,3,4}.


Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

A B = { x: x A e x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então AB=Ø.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.


Propriedades dos conjuntos

  1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.

  2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

    A A = A   e   A A = A

  3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

    A subset A B,  B subset A B,  A B subset A,  A B subset B

  4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

    A subset B equivale a A B = B
    A subset B equivale a A B = A

  5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

    A (B C) = (A B) C
    A (B C) = (A B) C

  6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

    A B = B A
    A B = B A

  7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

    A Ø = A

  8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

    A Ø = Ø

  9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

    A U = A

  10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

    A (B C ) = (A B) (A C)
    A (B C) = (A B) (A C)

    Os gráficos abaixo mostram a distributividade.


Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: x A e x B}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:


Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

CAB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.


Leis de Augustus De Morgan

  1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.

    (A B)c = Ac Bc

  2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

    (A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc

  3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.

    (A B)c = Ac Bc

  4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

    (A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc


Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

AB = { x: xAB e xAB }

O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:


Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

  1. A=Ø se, e somente se, B=AB.

  2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.

  3. A diferença simétrica é comutativa.

  4. A diferença simétrica é associativa.

  5. AA=Ø (conjunto vazio).

  6. A interseção entre A e BC é distributiva, isto é:

    A (B C) = (A B) (A C)

  7. A B está contida na reunião de AC e de BC, mas esta inclusão é própria, isto é:

    A B subset (A C) (B C)


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