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Geometria Espacial: Vetores no espaço tridimensional

Vetores no espaço R³

Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2 e no espaço R³. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R³.

Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R³ é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas características é representada por um segmento de reta desta família (representante).

O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do espaço R³, razão pela qual denotamos este vetor por: v=(a,b,c).

Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do sistema R³, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se um vetor v tem origem em (1,2,3) e extremidade em (7,12,15), ele é dado por v=(6,10,12), pois:

v = (7,12,15) - (1,2,3) = (6,10,12)

Existe uma definição mais ampla do conceito de vetor (não necessariamente geométrica) que envolve uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.


Soma de vetores

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3)


Propriedades da soma de vetores

  1. Fecho: Para quaisquer u e v de R³, a soma u+v está em R³.

  2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R³: v+w=w+v.

  3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R³: u+(v+w)=(u+v)+w.

  4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0,0) em R³ tal que para todo vetor u de R³, se tem: Ø+u=u.

  5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R³, existe um vetor -v em R³ tal que: v+(-v)=Ø.


Aplicações geométricas

Ponto Médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1) e v2=(x2,y2,z2), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y,z) onde

x = (x1+x2)/2;    y = (y1+y2)/2;     z = (z1+z2)/2

Centro de Gravidade de um triângulo: Consideremos os vértices de um triângulo, dados pelas extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1), v2=(x2,y2,z2) e v3=(x3,y3,z3). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y,z) onde

x =(x1+x2+x3)/3;    y =(y1+y2+y3)/3;    z =(z1+z2+z3)/3


Diferença de vetores

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (v1-w1,v2-w2,v3-w3)


Exercício: Dados v=(1,3,4) e w=(1,8,12), construir os vetores v, w, -v, -w, v+w e v-w.


Produto de vetor por escalar

Se v=(a, b, c) e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, como:

k.v = (ka,kb,kc)


Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam os escalares a, b e c e os vetores v e w teremos:

(E1) 1 v = v
(E2) (a b)v = a (b v) = b (a v)
(E3) a v = b v com v não nulo, então a=b.
(E4) k (v + w) = k v + k w
(E5) (a + b)v = a v + b v

Módulo de um vetor e vetores unitários

O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é definido por:

Um vetor unitário é o que tem o módulo (comprimento) igual a 1.


Exemplo: Existe um importante conjunto com três vetores unitários de R³.

i = (1,0,0);   j = (0,1,0);   k = (0,0,1)

Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço R³ pode ser escrito como combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:

v = (a,b,c) = a i + b j + c k

Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

u = v / |v|

Para construir um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é:

w = k v

As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são respectivamente, dadas por:

vx=(0,b,c);    vy=(a,0,c);    vz=(a,b,0)


Exercício: Quais são os vetores que representam as projeções ortogonais do vetor v = (3,4,12)? Quais são os módulos de todos estes vetores? Esboce um gráfico com estes vetores.


Produto escalar

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real:

v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3


Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é:

v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48

O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:

v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0


Exercício: Faça um gráfico, com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.


Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar k:

(PE1) v.w = w.v
(PE2) v.v = |v| |v| = |v|²
(PE3) u.(v + w) = u.v + u.w
(PE4) (k v).w = v.(k w) = k (v.w)
(PE5) |k v| = |k| |v|
(PE6) |u.v| < |u|.|v| (desigualdade de Schwarz)
(PE7) |u+v| < |u|+|v| (desigualdade triangular)

Ângulo entre dois vetores (Produto Escalar)

O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

v.w = |v| |w| cos(t)

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este ângulo pode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus (pi radianos). Com esta última definição, podemos obter o ângulo t, através do cosseno deste argumento t.

cos(t) = (v.w) / (|v|.|w|)


Exercício: Realizar uma análise acerca do produto escalar de dois vetores, quando o ângulo t é nulo, quando é reto e quando é raso.


Exercício: Determinar o ângulo entre os vetores v=(1,1,0) e w=(1,1,1). Nunca se esqueça de construir um gráfico com esses objetos matemáticos.


Vetores ortogonais

Dois vetores v e w são ortogonais se o produto escalar entre ambos é nulo, isto é, v.w=0.


Exercício: Dado o vetor v=(2,3,7), quais e quantos são os vetores ortogonais a v no espaço R³? Construa geometricamente esta situação.


Produto vetorial

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse um determinante.

u × v =

Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do "determinante". Observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.

u × v = = (-3,6,-3)

Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior.

Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os dois vetores v e w.


Propriedades do Produto Vetorial

(PV1) v × w = - w × v
(PV2) u × (v + w) = u × v + u × w
(PV3) k (v × w) = (k v) × w = v × (k w)
(PV4) i × i = j ×j = k × k = 0
(PV5) i × j = k, j × k = i, k × i = j
(PV6) Se v×w=0 (v e w não nulos) então v e w são paralelos

Ângulo entre dois vetores (produto vetorial)

O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

v × w = |v| |w| sen(t) U

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w.

Tomando o módulo em ambos os lados da igualdade acima, obtemos:

|v × w| = |v| |w| sen(t)

e isto significa que, com esta última definição de produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre dois vetores v e w, através de:

sen(t) = (v × w) / (|v|.|w|)

sendo que t é um número real pertencente ao intervalo [0,pi].


Aplicações do Produto Vetorial

Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de pi radianos, o módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos.

A(paralelogramo) = | v × w |

Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é:

A(triângulo) = ½ | v × w |


Produto misto

Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o número real obtido a partir do determinante

[u,v,w] = u·(v×w) =


Aplicações do Produto Misto

Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.

Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.

V(tetraedro) = (1/6) |[u,v,w]|


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