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Geometria Plana: Vetores no plano cartesiano

Definição de vetor

Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade).

  1. A direção é a da reta que contém o segmento.

  2. O sentido é dado pelo sentido do movimento.

  3. O módulo é o comprimento do segmento.

Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa (origem) e um outro ponto onde ele termina (extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem.


Observação: Existe uma definição, não necessariamente geométrica, muito mais ampla do conceito de vetor envolvendo uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.


Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e extremidade em (7,12), ele é dado por v=(6,10), pois:

v = (7,12)-(1,2) = (6,10)

Esta classe de objetos é representada por um segmento de reta (representante) desta família que tem as mesmas características.

Vetor no plano

O representante escolhido, quase sempre é o vetor com a origem está em (0,0) e a extremidade em (a,b) no plano cartesiano e que será denotado por

v = (a,b)


Soma de vetores e suas propriedades

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)


Propriedades da soma de vetores

  1. Fecho:Para quaisquer u e v de R², a soma u+v está em R².

  2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²:

    v + w = w + v

  3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R²:

    u + (v + w) = (u + v) + w

  4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0) em R² tal que para todo vetor u de R², se tem:

    Ø + u = u

  5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R², existe um vetor -v em R² tal que:

    v + (-v) = Ø

Aplicações geométricas

Ponto médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ) e v2=(x2 ,y2 ), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y) onde

x=(x1 + x2 )/2    e    y=(y1 + y2 )/2


Centro de gravidade de um triângulo: Tomemos os vértices de um triângulo como as extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ), v2=(x2 ,y2 ) e v3=(x3 ,y3 ). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y) onde

x=(x1 + x2 + x3 )/3    e    y=(y1 + y2 + y3 )/3


Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v-w = (a-c,b-d)


Produto por escalar e suas propriedades

Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, por:

k.v = (ka,kb)


Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam a e b escalares, v e w vetores:

  1. 1 v = v

  2. (ab) v = a (b v) = b (a v)

  3. Se a v = b v e v é um vetor não nulo, então a = b.

  4. a (v + w) = a v + a w

  5. (a + b) v = a v + b v

Exercício: Dados os vetores v=(3,4) e w=(8,12), construa no plano cartesiano os vetores: v, w, -v, -w, v+w e v-w.


Módulo de um vetor e suas propriedades

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Modulo de vetor


Vetor unitário: é um vetor que tem o módulo igual a 1.


Exercício: Mostrar que para todo t real, o vetor v=(cos(t),sen(t)) é unitário.


Observações

  1. Existem dois vetores unitários, que formam a base canônica para o espaço R², dados por:

    i=(1,0)   e   j=(0,1)

  2. Para obter um versor de v, que é um vetor unitário u com a mesma direção e sentido que o vetor v, basta dividir o vetor v pelo módulo de v, isto é:

    Vetor unitário

  3. Para obter um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar w=kv onde k é um escalar não nulo. Nesse caso, w e v serão paralelos.

    1. Se k=0 então w será o vetor nulo.

    2. Se 0<k<1 então |w|<|v|.

    3. Se k>1 então |w|>|v|.

    4. Se k<0 então w tem sentido oposto ao de v.

  4. Todo vetor v=(a,b) do plano cartesiano possui uma projeção horizontal (sobre o eixo OX) que é o vetor a i e uma projeção vertical b j (sobre o eixo OY) e o vetor v pode ser escrito como a soma destas projeções:

    v = a i + b j

Exercício: Qual é a projeção vertical do vetor v=(3,4)? Qual é o módulo deste vetor? Esboce um gráfico desta situação no plano R².


Produto escalar

Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por:

v.w = a.c + b.d


Exemplos: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-7,12) é dado por:

v.w = 2.(-7) + 5.(12) = 56

O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-5,2) é:

v.w = 2.(-5) + 5.(2) = 0


Exercício: Faça um gráfico em R², com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.


Propriedades do produto escalar: Quaisquer que sejam os vetores, u, v e w e k escalar:

  1. v.w = w.v

  2. v.v = |v| |v| = |v|²

  3. u.(v+w) = u.v + u.w

  4. (kv).w = v.(kw) = k(v.w)

  5. |kv| = |k||v|

  6. |u.v|<|u||v|  (desigualdade de Schwarz)

  7. |u+v|<|u|+|v|  (desigualdade triangular)


Ângulo entre dois vetores

Outra forma de escrever o produto escalar entre os vetores v e w é v.w=|v||w|cos(q) onde q é o ângulo formado entre v e w.

Ângulo entre vetores

Com ela, podemos obter o ângulo q entre dois vetores quaisquer v e w, pois:

Angulo entre vetores

desde que nenhum dos vetores seja nulo. Neste caso 0<q<pi=3,1416...


Exercício: Faça uma análise quando q=0, q=pi/2 e q=pi. Determine o ângulo entre os vetores v=(1,0) e w=(1,1). Nunca se esqueça de construir gráficos com esses objetos vetoriais.


Vetores ortogonais

Dois vetores v e w são ortogonais se:

v.w = 0


Exercício: Dado o vetor v=(3,7), obtenha pelo menos dois vetores do plano que sejam ortogonais a v. Construa geometricamente estes vetores.


Vetores paralelos

Dois vetores v e w são paralelos se existe uma constante real k diferente de zero, tal que:

v = k w


Exercício: Obter pelo menos dois vetores do plano que sejam paralelos ao vetor v=(3,7). Construa geometricamente estes vetores.


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