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Geometria Espacial: Poliedros

Poliedro

Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.


Poliedros Regulares

Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

TetraedroHexaedro (cubo)Octaedro

Características dos poliedros convexos

Notações para poliedros convexos: V: Número de vértices, F: Número de faces, A: Número de arestas, n: Número de lados da região poligonal regular (de cada face), a: Medida da aresta A e m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo.


Característica do
poliedro convexo
Medida da característica
Relação de EulerV + F = A + 2
Número m de ângulos diedraism = 2 A
Ângulo diedral
Raio do círculo inscrito
Raio do círculo circunscrito
Área da superfície externa
Volume do sólido poliédrico

Relações de Euler em poliedros regulares

As relações de Euler são duas importantes relações entre o número F de faces, o número V de vértices, o número A de arestas e o número m de ângulos entre as arestas.

F + V = A + 2,      m = 2 A


Na tabela abaixo, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos.

Poliedro regular
convexo
Cada face
é um
Faces
(F)
Vértices
(V)
Arestas
(A)
Ângulos entre
as arestas (m)
Tetraedrotriângulo
equilátero
44612
Hexaedroquadrado681224
Octaedrotriângulo
equilátero
861224
Dodecaedropentágono
regular
12203060
Isocaedrotriângulo
equilátero
20123060

Raios de círculos e ângulo diedral

Poliedro
regular
Raio do círculo
inscrito (r)
Raio do círculo
circunscrito (R)
Ângulo
diedral (d)
Tetraedro(a/12) R[6](a/4) R[6]70o31'44"
Hexaedroa/2(a/2) R[3]90o00'00"
Octaedro(a/6) R[6](a/2) R[2]109o28'16"
Dodecaedro(a/100)R{50+22R[5]}(a/4)(R[3]+R[15])116o33'54"
Icosaedro(a/2)R{(7+R[45])/6}(a/4) R{10+R[20]}138o11'23"
Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.

Áreas e Volumes

Poliedro regular ÁreaVolume
Tetraedroa2 R[3](1/12) a³ R[2]
Hexaedro6 a2
Octaedro2 a2 R[3](1/3) a³ R[2]
Dodecaedro3a2 R{25+10·R[5]}(1/4) a³ (15+7·R[5])
Icosaedro5a2 R[3](5/12) a³ (3+R[5])
Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.

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