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Geometria Plana: Ângulos em um triângulo Isósceles

Problema: Dado o triângulo isósceles com base horizontal CF, de modo que o ângulo oposto ao segmento CF tenha A=20 graus. A partir de C trace um segmento de reta que forma um ângulo de 60 graus com o segmento CF até encontrar o lado oposto ao ângulo C no ponto D. A partir de F trace um outro segmento de reta que forma um ângulo de 50 graus com o segmento CF até tocar o lado oposto ao ângulo F no ponto B. Ligue os pontos B e D. Qual é a medida do ângulo y correspondente ao ângulo ABD? Observação: Todos os detalhes desta construção podem ser vistas no desenho, em anexo.
Solução: Apresentamos uma solução não trivial do Prof. Matias (Dep. de Matemática da Universidade Est.de Londrina-PR) para o problema de encontrar um certo ângulo num triângulo isósceles, a partir de algumas informações dadas. Esta solução é construtiva e objetiva demonstrar que os triângulos ABD e CBE (sombreados em amarelo no desenho) são semelhantes. Tal fato seguirá em virtude de ambos possuírem ângulos de 20 graus e os dois lados que formam tais ângulos serem proporcionais.

Usaremos a notação mais simples sen(WZ) para o seno de WZ graus.


Procedimento:

  1. Tome p=m(AC) e b=m(CF), onde m(XY) é a medida do segmento XY.

  2. Fazendo uso da Lei dos senos sobre o triângulo ACD, temos:

    AD
    sen(20)
    = AC
    sen(140)
    = P
    sen(140)

    Como sen(140)=sen(40)=2sen(20)cos(20), então:

    CE= b sen(50)
    sen(70)
  3. e o segmento AD pode ser escrito em função de p como:

    AD= p
    2 cos(20)
    = p
    2 sen(70)
  4. Usando a Lei dos senos sobre o triângulo ABF, obtemos:

    AB
    sen(30)
    = p
    sen(130)
  5. Como sen(130)=sen(50) e sen(30)=1/2, o segmento AB pode ser escrito em função de p como:

    AB= p
    2 sen(50)
  6. Usando a Lei dos senos sobre o triângulo BCE, obtemos:

    CE
    sen(50)
    = BC
    sen(110)
  7. Como os ângulos CBF e CFB têm medidas iguais a 50, o triângulo BCF é isósceles, assim m(BC)=b.

  8. Como sen(110)=sen(70), segue que:

    CE
    sen(50)
    = b
    sen(70)
  9. Dessa forma, podemos escrever a medida do segmento CE em função de b como:

    CE= b sen(50)
    sen(70)
  10. Observamos que:

    AD= p
    2 sen(70)
      e   AB= p
    2 sen(50)
  11. Com a divisão de AD por AB obtemos o mesmo valor numérico que a divisão de CE por b, o que significa que:

    AD
    AB
    = CE
    b
    = CE
    BC
  12. A última proporção garante que os segmentos AD e AB são proporcionais aos segmentos CE e BC, pois formam o ângulo de BAD de 20 graus no triângulo BAD e o ângulo BCE de 20 no triângulo BCE, garantindo que os triângulos ABD e CBE são semelhantes. Como m(CBE)=50 e m(ABD)=y e como os ângulos CBE e ABD são congruentes, segue que y=50 graus. Logo, o ângulo ADB mede 110 e o ângulo BDC mede 30, o que garante que o ângulo BDF mede 70 graus.

  13. O resto é fácil!


Comentário: Talvez existam outras soluções mais simples para este problema, mas esta é muito bonita. Caso conheça outra forma para a resolução do problema, você poderá enviar-me que eu publicarei em minha Home Page, dando o crédito ao "resolvedor".


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