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Geometria Plana: Áreas de regiões circulares

O círculo como o limite de regiões poligonais regulares

Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.

Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos que també aumenta:

  1. O apótema, aproximando-se do raio do cículo como um limite.

  2. O perímetro, aproximando-se da circunferência do círculo como um limite.

  3. A área, aproximando-se da área do círculo como um limite.

Neste trabalho não é possível apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo.

A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta.

O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites.


Perímetro do círculo e da circunferência

Perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite da sequência dos perímetros dos polígonos regulares inscritos de n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumenta indefinidamente.


Área do círculo é o valor limite da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.


Relações associadas ao perímetro

  1. Com base nestas duas definições temos um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da circunferência:

    A razão entre o perímetro e o diâmetro
    de uma circunferência é uma constante

  2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e D2, com perímetros P1 e P2, respectivamente. A razão entre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre os diâmetros D1 e D2. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r1 e r2.

    A1
    A2
    = D1
    D2
    = r1
    r2
  3. Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denominada Pi, denotada pela letra grega que é um número irracional (não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para Pi com 10 dígitos decimais é:

    = 3,1415926536....


Área do círculo

Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso, o diâmetro D=2r. As fórmulas para a área do círculo são:

Área = r² = ¼

Proporção com áreas: Sejam dois círculos de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas A1 e A2 e diâmetros D1 e D2. A razão entre as áreas desses dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.

A1
A2
= (D1)²
(D2)²
= (r1)²
(r2)²

Arcos

O comprimento de um arco genérico AB pode ser descrito em termos de um limite. Imaginemos o arco AB contendo vários pontos A=Po, P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn=B, formando n pequenos arcos e também n pequenos segmentos de reta de medidas respectivas iguais a: AP1, P1P2, ..., Pn-1B.

A idéia aqui é tomar um número n bastante grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dos arcos sejam aproximadamente iguais às medidas dos segmentos.

O comprimento de um arco AB de uma circunferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce indefinidamente.

Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede 360 graus=2radianos. Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincidirá com o comprimento do arco da mesma e é dado por:

Perímetro da circunferência = 2r

Comprimento do arco: Seja um arco AB em uma circunferência de raio r e m a medida do ângulo correspondente, sendo m tomado em graus ou em radianos. O comprimento do arco pode ser obtido (em radianos) por:

Comprimento do arco AB = r m/180 = r m

Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:

360 graus ……… 2 Pi r
m   graus ……… Comprimento de AB

logo

comprimento do arco AB = m r / 180

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:

2 Pi rad ……… 2 Pi r
m    rad ……… comprimento de AB

assim

Comprimento do arco AB = r m radianos


Setor circular

Setor circular é uma região limitada por dois raios e um arco do círculo.

Usando a figura acima, podemos extrair algumas informações:

  1. OACB é um setor circular

  2. OADB é um setor circular

  3. r é o raio de cada um dos setores

  4. ACB é o arco do setor OACB

  5. ADB é o arco do setor OADB.

  6. Tomando m como a medida do arco ACB (em graus ou radianos), a área do setor circular OACB será dada por:

Área do setor circular OACB = r² m/360 = ½ m r²

Basta usar regras de três simples e diretas. Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:

360 graus ……… Área do círculo
m   graus ……… Área do setor OACB

logo

Área(setor OACB) = Pi r² m / 360

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:

2 Pi rad ……… Área do círculo
m    rad ……… Área setor OACB

assim

Área(setor OACB) = ½ m r² radianos


Segmento circular

Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura abaixo, existem dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.

A área do segmento ACB pode ser obtida subtraindo a área do triângulo AOB da área do setor OACB.

Área(segmento) = Área(setor OACB) - Área(triângulo AOB)

A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB.


Curiosidades sobre o número Pi

  1. Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem:

    "Fez também o mar de fundição; era redondo
    e media dez côvados duma borda à outra, cinco
    côvados de altura e trinta de circunferência."
    

    sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.

  2. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.

  3. O símbolo pi usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência somente foi introduzido no século XVIII.

  4. O valor de correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do Equador terrestre.

  5. Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um segmento de comprimento Pi através de régua e compasso.

  6. O número exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências, predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.

  7. Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor exato de com mais de cem mil dígitos decimais.

Detalhes sobre o cálculo de Pi: De modo análogo ao resultado obtido através do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limite de polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.

Perímetro polígono inscrito
2r
< < Perímetro polígono circunscrito
2r

Tais relações estão na tabela com dados sobre o polígono regular dado:

Número de lados
do polígono
Perímetro do polígono
inscrito dividido por 2r
Perímetro do polígono
circunscrito dividido por 2r
63,000003,46411
123,105823,21540
243,132623,15967
483,139353,14609
963,141033,14272
1923,141453,14188
2563,141513,14175
5123,141573,14163
10243,141593,14160

Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.


Outra forma (lenta) para obter o número Pi, é:

A forma mais rápida que conhecemos para obter Pi, é:

obtida em The miraculous Bailey-Borwein-Plouffe Pi Algorithm.


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