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Geometria Plana: Geometria Analítica Plana

Eixos Coordenados

Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P.

Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico. O sistema de Coordenadas Ortogonais é conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas e tal sistema possui quatro regiões denominadas quadrantes.

Segundo  quadrante Primeiro quadrante
Terceiro quadranteQuarto quadrante 
Quadrantesinal de xsinal de yPonto
 não temnão tem(0,0)
Primeiro++(2,4)
Segundo-+(-4,2)
Terceiro--(-3,-7)
Quarto+-(7,-2)

Distância entre dois pontos do plano cartesiano

Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos b e c, isto é, a2=b2+c2.

Dados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtemos a distância entre P e Q, traçando as projeções destes pontos sobre os eixos coordenados, obtendo um triângulo retângulo e usando o Teorema de Pitágoras.

O segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR é um cateto e o segmento QR é o outro cateto, logo:

[d(P,Q)]2 = [d(P,R)]2 + [d(Q,R)]2

Como:

[d(P,R)]2 = | x1 - x2| 2 = (x1 - x2)2

e

[d(Q,R)] 2 = | y1 - y2| 2 = (y1 - y2)2

então


Exemplos: A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é

A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto P=(x,y) é dada por:


Ponto médio de um segmento

Aplicação: Dados os pares ordenados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), pode-se obter o Ponto Médio M=(xm,ym) que está localizado entre P e Q.

O ponto médio é obtido com o uso da média aritmética, uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas.

xm = (x1 + x2)/2,    ym = (y1 + y2)/2


Observação: O centro de gravidade de um triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são A=(x1,y1), B=(x2,y2) e C=(x3,y3), é:

G=((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3 )


Retas no plano cartesiano

Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta.


Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com x1diferentex2, o coeficiente angular k da reta que passa por estes pontos é o número real


Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas.

Se o ângulo está no primeiro quadrante ou no terceiro quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo e se o ângulo está no segundo quadrante ou no quarto quadrante, o sinal do coeficiente angular é negativo.


Declividade de uma reta: A declividade indica o grau de inclinação de uma reta. O fato do coeficiente angular ser maior que outro indica que a reta associada a este coeficiente cresce mais rapidamente que a outra reta. Se um coeficiente angular é negativo e o módulo deste é maior que o módulo de outro coeficiente, temos que a reta associada ao mesmo decresce mais rapidamente que a outra.

Se o coeficiente angular é nulo, a reta é horizontal.


Coeficiente linear de uma reta: é a ordenada (altura) w do ponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas.


Retas horizontais e verticais: Se uma reta é vertical ela não possui coeficiente linear e coeficiente angular. Assim, a reta é indicada apenas por x=a, a abscissa do ponto onde a reta cortou o eixo OX.

Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é nulo e a equação desta reta é dada por y=b, ordenada do ponto onde está reta corta o eixo OY.


Equação reduzida da reta

Dado o coeficiente angular k e o coeficiente linear w de uma reta, então poderemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por:

y = k x + w


Exemplos

  1. Se k=5 e w=-4, então a reta é dada por y=5x-4.

  2. Se k=1 e w=0, temos a reta (identidade) y=x.

  3. Se k=0 e w=5, temos a reta y=5.


Reta que passa por um ponto e tem coeficiente angular dado: Uma reta que passa por um ponto P=(xo,yo) e tem coeficiente angular k, é dada por:

y - yo = k (x - xo)


Exemplos

  1. Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente angular k=8, então a equação da reta é y=8(x-1)+5.

  2. Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente angular k= -1, então a sua equação é dada por: y=-x.


Reta que passa por dois pontos: Se dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) não estão alinhados verticalmente, podemos obter a equação da reta que passa por estes pontos com:


Retas paralelas e perpendiculares

Retas paralelas: Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes angulares.


Exemplos

  1. x=3 e x=7 são retas paralelas.

  2. As retas y=34 e y=0 são paralelas.

  3. As retas y=2x+5 e y=2x-7 são paralelas.

Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1.


Exemplos

  1. As retas y=x+3 e y=-x+12 são perpendiculares, pois k'=1, k"=-1 e k'k"=-1.

  2. As retas y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois k'=5, k"=-1/5 e k'k"=-1.


Equação geral da reta

Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita pela sua equação geral:

a x + b y + c = 0


Exemplos

  1. Se a=-1, b=1 e c=-1, tem-se a reta -x+y-1=0.

  2. Se a=0, b=1 e c=0, tem-se a reta y=0.

  3. Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x+5=0.

Distância de um ponto a uma reta no plano

Seja um ponto P=(xo,yo) e uma reta r no plano definida por ax+by+c=0.

A distância d=d(P,r) do ponto P à reta r pode ser obtida pela fórmula abaixo:


Exemplo: A distância de (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:


Área de um triângulo no plano cartesiano

Dado um ponto (x1,y1) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x2,y2) e (x3,y3), pode-se calcular a área do triângulo cujos vértices são estes três pontos, bastando para isto determinar a medida da base do triângulo que é a distância entre (x2,y2) e (x3,y3) e a altura do triângulo que é a distância de (x1,y1) à reta que contém os outros dois pontos.

Como o processo é bastante complicado, apresentamos um procedimento equivalente muito bonito, simples e fácil de memorizar.

A área do triângulo é dada pela metade do valor absoluto do determinante da matriz indica pela expressão:


Exemplo: A área do triângulo cujos vértices são (1,2), (3,4) e (9,2) é igual a 8, pois:


Colinearidade de 3 pontos no plano: Três pontos no plano, (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são colineares se pertencem à mesma reta.

Um processo simples sugere que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta verificar que o determinante da matriz abaixo deve ser nulo.


Exemplo: Os pontos (2,0), (1,1) e (0,2) são colineares pois:


Circunferências no plano

Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma circunferência com centro no ponto (a,b) de um plano e tendo raio r, é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) deste plano que estão localizados à mesma distância r do centro (a,b).

A equação desta circunferência é dada por:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Disco circular é a região que contém a circunferência e todos os pontos contidos no interior da circunferência.


Exemplo: A equação da circunferência com centro em (2,3) e raio igual a 8 é:

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 82

A equação da circunferência com centro na origem (0,0) e raio r, recebe o nome de forma canônica da circunferência e é dada por:

x2 + y2 = r2


Equação geral da circunferência: Dada a equação (x-a)2+(y-b)2=r2, podemos desenvolver a mesma para obter a forma geral da circunferência:

x2 + y2 + A x + B y + C = 0


Exemplo: A equação geral da circunferência com centro em (2,3) e raio r=8 é:

x2 + y2 - 4x - 6y - 51 = 0


Equação da circunferência com centro em um ponto e passando em outro: Dado o centro O=(a,b) da circunferência e um outro ponto Q=(xo,yo) que pertence à circunferência, pode-se obter o raio da mesma através da distância entre O e Q e se utilizar a equação normal da circunferência para se obter a sua equação.


Exemplo: A circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) tem raio tal que:

r2 = (8-3)2 + (16-5)2 = 25+121 = 146

logo, a sua equação é dada por:

(x-3)2 + (y-5)2 = 146


Equação da circunferência que passa por 3 pontos: Quando conhecemos três pontos da circunferência, podemos utilizar a equação geral da circunferência para obter os coeficientes A, B e C através de um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas.


Exemplo: Seja uma circunferência que passa pelos pontos (2,1), (1,4) e (-3,2). Dessa forma, utilizando a equação geral da circunferência:

x2 + y2 + A x + B y + C = 0

substituiremos estes pares ordenados para obter o sistema:

(-2)2 + (1)2 + A(-2) + B(1) + C = 0
( 1)2 + (4)2 + A( 1) + B(4) + C = 0
(-3)2 + (2)2 + A(-3) + B(2) + C = 0

que pode ser simplificado na forma:

-2 A + 1 B + 1 C = -5
 1 A + 4 B + 1 C =  5
-3 A + 2 B + 1 C = 13

e através da Regra de Cramer, podemos obter:

A =    , B =    , C =   

assim a equação geral desta circunferência é:

x2 + y2 + (   )x + (   )y + (   ) = 0


Relações importantes no plano cartesiano

Uma relação em um plano é qualquer subconjunto deste plano, mas as mais importantes relações, do ponto de vista prático, são as que podem ser representadas por linhas, como: retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles.

Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem regiões planas com as próprias regiões. Iremos colorir algumas regiões fechadas para dar mais destaque às curvas que as contém, que são as relações matemáticas.

   
Circunferência  e  Elipse


Parábola   e  Hipérbole


Seções cônicas

Todas as curvas apresentadas anteriormente podem ser obtidas através de seções (cortes planos) de um cone circular reto com duas folhas como aquele apresentado abaixo. Tais curvas aparecem como a interseção do cone com um plano apropriado.

Se o plano for :

  1. horizontal e passar pelo vértice do cone, teremos apenas um ponto.

  2. vertical e passar pelo vértice do cone, teremos duas retas concorrentes.

  3. horizontal e passar fora do vértice, teremos uma circunferência.

  4. tangente ao cone, teremos uma reta.

  5. vertical e passar fora do vértice, teremos uma hipérbole.

  6. paralelo à linha geratriz do cone, teremos uma parábola.

  7. inclinado, teremos uma elipse.


Equações de algumas seções cônicas

Nome              Equação
--------------    -------------
Ponto             x²+y²=0
Reta              y=kx+w
Parábola          y=ax²+bx+c
Circunferência    x²+y²=r²
Elipse            x²/a²+y²/b²=1
Hipérbole         x²/a²-y²/b²=1
Duas retas        x²/a²-y²/b²=0

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