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Geometria Espacial: Elementos de Geometria Espacial

Introdução

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.


Planos e retas

Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto, podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Retas paralelas: Duas retas são paralelas se elas não possuem interseção e estão em um mesmo plano.

Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.

Retas reversas: Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s, não paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa.


Posições de pontos, retas e planos

Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

  1. Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta).

  2. Um ponto e uma reta ou um segmento de reta que não contém o ponto.

  3. Um ponto e um segmento de reta que não contém o ponto.

  4. Duas retas paralelas que não se sobrepõe.

  5. Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe.

  6. Duas retas concorrentes.

  7. Dois segmentos de reta concorrentes.


Posições de retas e planos

Há duas relações importantes, relacionando uma reta e um plano no espaço R3.

Reta paralela a um plano: Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Reta perpendicular a um plano: Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.


Distância de um ponto a um plano

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.


Posições entre planos

  1. Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta.

  2. Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção.

  3. Diedro: Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro.

  4. Ângulo diedral: É ângulo formado por dois planos concorrentes. Para obter o ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

  5. Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).


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