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Geometria Espacial: Cones

O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.


Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

  1. Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.

  2. Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.

  3. Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.

  4. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.

  5. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.

  6. Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

  7. Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

  8. Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.


Classificação do cone

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.


Observações sobre um cone circular reto

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(lateral) = pi.r.g

A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(total) = pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)


Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por:

A(base) = pi r²

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)²=h²+r², logo h²=4r²-r²=3r², assim:

h = r

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = (1/3) pi r3

Como a área lateral pode ser obtida por:

A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r²

então a área total será dada por:

A(total) = 3 pi r²


Exercícios resolvidos

Notação: Usaremos a notação R[3] para representar a raiz quadrada de 3.

  1. A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

    Como sen(60o)=h/20, então

    (1/2) R[3] = h/20
    h = 10 R[3] cm
    

    Como V = (1/3)×(A(base).h, então:

    V = (1/3) pi.r²h
    V = (1/3) pi.10².10 R[3]
    V = (1/3) 1000.R[3].pi cm³
    

    Se r=10cm; g=20cm e A(lateral)=pi.r.g, escreveremos:

    A(lataral) = pi.r.g = pi.10.20 = 200.pi cm²
    A(total) = A(lateral) + A(base)
             = pi.r.g + pi.r² = pi.r.(r+g)
             = pi.10.(10+20) = 300 pi cm²
    

  2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume? Como sen(60º)=r/2, segue que:

    R[3]/2 = r/2
    r = R[3] cm
    

    Substituindo os valores de g e de r, na relação g²=h²+r², obtemos

    h = 1cm
    V = (1/3).A(base).h = (1/3) pi.r²h
      = (1/3).pi.3 = pi cm³
    

  3. Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c, e a sua área mede 2m². O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 pi m³. Obteremos a medida do cateto c. Como a área do triângulo mede 2m², segue que: (1/2)bc=2, o que garante que bc=4. Como a área da base é dada por A(base)=pi.r²=pi.c², temos que

    V = 16 pi = (1/3) pi c² b
    c = 12 m
    

  4. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

    Se

    h(prisma) = 12
    A(base do prisma) = A(base do cone) = A
    V(prisma) = 2×V(cone)
    

    assim:

    A×h(prisma) = 2(A h)/3
    A 12 = (2/3)A h
    h = 18 cm
    
  5. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio r e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

    V = V(cilindro) - V(cone)
      = A(base).h - (1/3) A(base).h
      = pi.r².h - (1/3).pi.r².h
      = (2/3) pi.r².h cm³
    


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